Department of Mathematics
第三章 复变函数的积分第 3.2节 柯西公式柯西公式：
设 f(z)在以圆为边界的闭圆盘上解析,f(z)沿 C的积分为零 。
考虑积分
)0(|:| 000 rrzzC
C dzzz zfI
0
)(
则有,(1)被积函数在 C上连续,积分 I必然存在；
（ 2） 在上述闭圆盘上 不解析,I的值不一定为 0,0
)(
zz
zf
柯西公式：
因此,I的值只 f(z)与在 z0点附近的值有关 。
例如：
由柯西定理,得
.21)( iIzf 时，
现在考虑 f(z)为一般解析函数的情况 。 作以 z0
为心,以 r为半径的圆 Cr，
rCC
dz
zz
zf
dz
zz
zf
00
)()(
令, iezz 0
由于 I的值只 f(z)与在 z0点附近的值有关,
与 r无关,由 f(z)在点 z0的连续性,应该有柯西公式：
),(2 0zifI
即事实上,当 r趋近于 0时,有
C dzzz
zf
i
zf
0
0
)(
2
1)(
则有
C i dezfiI )( 0
柯西公式：
由于由 f(z)在点 z0的连续性,所以
)(0,0 0r
使得当时，rCzr,0?
|)()(| 0zfzf
rCC
dz
zz
zfzfzf
dz
zz
zf
0
00
0
)()()()(
rr CC
dz
zz
zfzfdz
zz
zf
0
0
0
0
)()(1)(
柯西公式：
22|
)()(
|
0
0
rrdzzz
zfzf
rC
因此即当 r趋近于 0时,上式右边的有第二个积分趋近于 0；而
idz
zzrC
21
0
因此,结论成立 。
定理 4,1(柯西公式 )
定理 4.1 设 D是以有限条简单闭曲线 C为边界的有界区域 。 设 f(z)在 D及 C所组成的闭区域 上解析,那么在内任一点 z,有
D
C dzfizf )(2 1)(
其中,沿曲线 C的积分是按反时针方向取的,我们称它为柯西公式 。
注解：
注解 1,对于某些有界闭区域上的解析函数,它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来 。
注解 2,柯西公式是解析函数的最基本的性质之一,对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的 。
注解 3,柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义 。
定理 4.1的证明：
证明：设,Dz?
z
f
)(
在满足 的点 处解析 。zD,?
以 z为心,作一个包含在 D内的圆盘,设其半径为 r,边界为圆 Cr。
在 上,挖去以 Cr为边界的圆盘,余下的点集是一个闭区域 。
D
D
显然函数定理 4.1的证明：
0C
1C
2C
Cz
定理 4.1的证明：
其中,沿曲线 C的积分是按关于 D的正向取的,
CC
d
z
fd
z
f )()(
沿 Cr的积分是按反时针方向取的 。 因此,结论成立 。
解析,所以有在 上,的函数 以及?D? )(?f
z
f
)(
定理 4.2(高阶导数公式 )：
定理 4.2 设 D是以有限条简单闭曲线 C为边界的有界区域 。 设 f(z)在 D及 C所组成的闭区域 D
,.,,)3,2,1(
)(
)(
2
!)(
1
)(?
nd
z
f
i
nzf
C n
n?
))(
2
1)((?
C
d
z
f
i
zf?
上解析,那么 f(z)在 D内有任意阶导数高阶导数公式：
证明：先证明结论关于 n=1时成立。设 Dhz
是 D内另一点。只需证明，当 h趋近于 0时，下式也趋近于 0
])( )(2 )(2 1)(2 1[1 2
CCC
dzfihdzfidhzfih
C dzhz fih 2))(( )(2
C dzfih zfhzf 2)( )(2 1)()(
高阶导数公式：
现在估计上式右边的积分 。 设以 z为心,以 2d为半径的圆盘完全在 D内,并且在这个圆盘内取
z+h,使得 0<|h|<d,那么当 时
,||,|| dhzdz
D
设 |f(z)|在 C上的一个上界是 M,并且设 C的长度是 L,于是我们有因此当 h趋近于 0时,要证的积分趋于 0。
,
2
|||
))((
)(
2
| 22
d
MLhd
zhz
f
i
h
C
高阶导数公式：
现在用数学归纳法完成定理的证明 。 设 n=k时,
结论成立 。 取 z及 z+h同上,那么有
C k
kk
d
z
f
i
k
h
zfhzf?
2
)()(
)(
)(
2
)!1()()(
C
k
C
k
C
k
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i
k
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hz
f
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2
11
)(
)(
2
)!1(
]
)(
)(
2
!
)(
)(
2
!
[
1
C kC kk k dzfikdzhz Ohzkfihk 211 2 )( )(2 )!1()()( )1())(1()(2 !
高阶导数公式：
)1(])( 1)()( 1)[(2 )!1( 21
C kk
hOdzzhzfik
由此证明,当 h趋近于 0时,上式的右边趋于 0，
于是定理的结论当 n=k+1时成立 。
系 4.1：
系 4.1 设函数 f(z)在区域 D内解析,那么 f(z)在 D内有任意阶导数 。
注解 1,以上讨论表明,函数在一个区域内的解析性是很强的条件,和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；
注解 2,任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；
定理 4.3：
定理 4.3 设函数 f(z)在以
)0(|:| 000zzC
为边界的闭圆盘上解析,那么
)1!0,.,,;2,1,0()(
!
|)(| 0)( nM
n
zf
n
n
其中
).0(|)(|m a x)( 0
|| 0
zfM
zz
定理 4.3的证明：
证明：令?C
是圆 )0(||
00 zz
那么,由导数公式,有
|
)(
)(
2
!||)(|
1
)(?
C n
n d
z
f
i
nzf?
11
)(!2)(
2
nn MnMn!
其中,n=0,1,2,… ;0!=1。
注解：
注解 1,上面的不等式称为柯西不等式 。
注解 2,如果在 C上解析,那么我们称它为一个整函数,例如
zezz,c o s,s i n
等 。 关于整函数,我们有下面重要的刘维尔定理刘维尔定理：
定理 4.4,有界整函数一定恒等常数证明,f(z)是有界整函数,即存在 ),,0(M
使得,|)(|C,Mzfz
),0(,C0z
f(z)在上 }|||{ 0 zzz
解析 。 由柯西公式,有?/|)('| 0 Mzf?
令,可见 0)(',C 00 zfz
从而 f(z)在 C上恒等于常数 。
莫勒拉定理：
5,莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数,
可以证明柯西定理的逆定理,
定理 5.1 如果函数 f(z)在区域 D内连续,并且对于
D内的任一条简单闭曲线 C,我们有
0)(
C
dzzf
那么 f(z)在区域 D内解析 。
莫勒拉定理：
证明：,C0 z
作以为 z0心的圆盘,DK?
在凸区域 K内,函数 f(z)连续,并且对于 K内任何一个三角形的周界 C,则可以证明 f(z)在 K内有原函数 F(z),即
)()(' zfzF
于是 F(z)在 K内解析 。 由系 4.1,f(z)在 K内,在 z0
解析,从而有任意阶导数 。 又因为 z0的任意性,
结论成立 。
It’s The End！
Thank You！
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第三章 复变函数的积分第 3.2节 柯西公式柯西公式：
设 f(z)在以圆为边界的闭圆盘上解析,f(z)沿 C的积分为零 。
考虑积分
)0(|:| 000 rrzzC
C dzzz zfI
0
)(
则有,(1)被积函数在 C上连续,积分 I必然存在；
（ 2） 在上述闭圆盘上 不解析,I的值不一定为 0,0
)(
zz
zf
柯西公式：
因此,I的值只 f(z)与在 z0点附近的值有关 。
例如：
由柯西定理,得
.21)( iIzf 时，
现在考虑 f(z)为一般解析函数的情况 。 作以 z0
为心,以 r为半径的圆 Cr，
rCC
dz
zz
zf
dz
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zf
00
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令, iezz 0
由于 I的值只 f(z)与在 z0点附近的值有关,
与 r无关,由 f(z)在点 z0的连续性,应该有柯西公式：
),(2 0zifI
即事实上,当 r趋近于 0时,有
C dzzz
zf
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)(
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则有
C i dezfiI )( 0
柯西公式：
由于由 f(z)在点 z0的连续性,所以
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使得当时，rCzr,0?
|)()(| 0zfzf
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柯西公式：
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因此即当 r趋近于 0时,上式右边的有第二个积分趋近于 0；而
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21
0
因此,结论成立 。
定理 4,1(柯西公式 )
定理 4.1 设 D是以有限条简单闭曲线 C为边界的有界区域 。 设 f(z)在 D及 C所组成的闭区域 上解析,那么在内任一点 z,有
D
C dzfizf )(2 1)(
其中,沿曲线 C的积分是按反时针方向取的,我们称它为柯西公式 。
注解：
注解 1,对于某些有界闭区域上的解析函数,它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来 。
注解 2,柯西公式是解析函数的最基本的性质之一,对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的 。
注解 3,柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义 。
定理 4.1的证明：
证明：设,Dz?
z
f
)(
在满足 的点 处解析 。zD,?
以 z为心,作一个包含在 D内的圆盘,设其半径为 r,边界为圆 Cr。
在 上,挖去以 Cr为边界的圆盘,余下的点集是一个闭区域 。
D
D
显然函数定理 4.1的证明：
0C
1C
2C
Cz
定理 4.1的证明：
其中,沿曲线 C的积分是按关于 D的正向取的,
CC
d
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沿 Cr的积分是按反时针方向取的 。 因此,结论成立 。
解析,所以有在 上,的函数 以及?D? )(?f
z
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定理 4.2(高阶导数公式 )：
定理 4.2 设 D是以有限条简单闭曲线 C为边界的有界区域 。 设 f(z)在 D及 C所组成的闭区域 D
,.,,)3,2,1(
)(
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上解析,那么 f(z)在 D内有任意阶导数高阶导数公式：
证明：先证明结论关于 n=1时成立。设 Dhz
是 D内另一点。只需证明，当 h趋近于 0时，下式也趋近于 0
])( )(2 )(2 1)(2 1[1 2
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C dzhz fih 2))(( )(2
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高阶导数公式：
现在估计上式右边的积分 。 设以 z为心,以 2d为半径的圆盘完全在 D内,并且在这个圆盘内取
z+h,使得 0<|h|<d,那么当 时
,||,|| dhzdz
D
设 |f(z)|在 C上的一个上界是 M,并且设 C的长度是 L,于是我们有因此当 h趋近于 0时,要证的积分趋于 0。
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高阶导数公式：
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C kk
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由此证明,当 h趋近于 0时,上式的右边趋于 0，
于是定理的结论当 n=k+1时成立 。
系 4.1：
系 4.1 设函数 f(z)在区域 D内解析,那么 f(z)在 D内有任意阶导数 。
注解 1,以上讨论表明,函数在一个区域内的解析性是很强的条件,和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；
注解 2,任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；
定理 4.3：
定理 4.3 设函数 f(z)在以
)0(|:| 000zzC
为边界的闭圆盘上解析,那么
)1!0,.,,;2,1,0()(
!
|)(| 0)( nM
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其中
).0(|)(|m a x)( 0
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定理 4.3的证明：
证明：令?C
是圆 )0(||
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那么,由导数公式,有
|
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C n
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11
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其中,n=0,1,2,… ;0!=1。
注解：
注解 1,上面的不等式称为柯西不等式 。
注解 2,如果在 C上解析,那么我们称它为一个整函数,例如
zezz,c o s,s i n
等 。 关于整函数,我们有下面重要的刘维尔定理刘维尔定理：
定理 4.4,有界整函数一定恒等常数证明,f(z)是有界整函数,即存在 ),,0(M
使得,|)(|C,Mzfz
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解析 。 由柯西公式,有?/|)('| 0 Mzf?
令,可见 0)(',C 00 zfz
从而 f(z)在 C上恒等于常数 。
莫勒拉定理：
5,莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数,
可以证明柯西定理的逆定理,
定理 5.1 如果函数 f(z)在区域 D内连续,并且对于
D内的任一条简单闭曲线 C,我们有
0)(
C
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那么 f(z)在区域 D内解析 。
莫勒拉定理：
证明：,C0 z
作以为 z0心的圆盘,DK?
在凸区域 K内,函数 f(z)连续,并且对于 K内任何一个三角形的周界 C,则可以证明 f(z)在 K内有原函数 F(z),即
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于是 F(z)在 K内解析 。 由系 4.1,f(z)在 K内,在 z0
解析,从而有任意阶导数 。 又因为 z0的任意性,
结论成立 。
It’s The End！
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