Department of Mathematics
第五章第三节,整函数与亚纯函数整函数的概念如果 f(z)在有限复平面 C上解析,那么它就称为一个整函数 。 显然无穷远点是整函数的孤立奇点 。 在 C上,f(z) f(z)围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式：
,)(
0
n
n
n zzf?
当 f(z)恒等于一个常数时,无穷远点是它的可去奇点；当 f(z)是 次多项式时,无穷远点是它的 n阶极点；在其它情况下,无穷远点是 f(z)
的本性奇点,而这时称 f(z)为一个超越整函数 。
)1(?n
代数基本定理：
代数基本定理,任何 次代数方程至少有一个根 。
例如
zze z c o s,s i n,
都是超越整函数,无穷远点是它们的本性奇点
。 由刘维尔定理,我们有
)1(?n
证明：设
)0(.,,)( 011 nnnnn zzzP
是一个这样的代数方程 。 我们要证明整函数 P(z)至少有一个零点 。 反证之,假定 P(z)没有零点,那么也是一个整函数,因为代数基本定理：
)(
1
zP
|).,,(||)(| 01 nnnn zzzzP
)0(|)|| ||...|| |||(||| 01 zzzz nnnn
所以我们有
,0
)(
1lim,|)(|lim
zP
zP
zz
因而 在全平面上有界,于是根据刘维尔定理,
代数基本定理：
)(
1
zP
恒等于 0,与所设矛盾,因此 P(z)至少有一个零点 。
)(
1
zP
注解 1,此定理也表明,任何 n次多项式恰有 n个根 。
注解 2,此定理具有非常广泛的应用 。
整函数定理 10.1 设 f(z)是一个整函数,按照 是可去奇点,阶极点或本性奇点,必须而且只需 f(z)是恒等于常数,次多项式或超越整函数 。
z
)1(?n
)1(?n
证明：设 是 f(z)的可去奇点,那么为有限复数,从而 f(z)有界,由刘维尔定理,f(z)恒等于一个常数 。
)(lim zfz
z
设 是 f(z)的极点或本性奇点时,设 f(z)在的主要部分是
z
z
11
)(
k
k
k
n
k
k
k zzzg 或整函数与亚纯函数的概念那么 是 f(z)-g(z)的可去奇点 。 因此,
f(z)=g(z)+C,其中 C为一个常数 。
z
定理的必要性显然成立 。
亚纯函数的概念如果函数 f(z)在有限平面上除去有极点外,
到处解析,那么它就称为一个亚纯函数 。
亚纯函数是整函数的推广,它可能有无穷多个极点 。 例如 是一个亚纯函数,它有极点
zsin
1
,.,,)1,0( kkz?
有理函数
)0,(
.,,
.,,
2
210
2
210?
mnm
m
n
n
zzz
zzz
亚纯函数的概念也是一个亚纯函数,它在有限复平面上有有限个极点,而无穷远点是它的极点 （ 当 n>m时 ）
或可去奇点 （ 当 时 ）,在这里mn?
),.,,,2,1,0;,.,,,2,1,0(,mlnklk
是复常数,m及 n是正整数 。
定理 10.2
定理 10.2如果无穷远点是亚纯函数的可去奇点或极点,那么是一个有理函数 。
证明：如果无穷远点是 f(z)的可去奇点或极点,
那么可找到一个有限的 R,使得 f(z)在
|| zR
内解析 。 在 上,f(z)只可能有有限个极点
,因为否则极点的极限点既不是极点,而且函数也不可能在这点解析,这是不可能的 。 因此
f(z)只可能有有限个极点,设为
Rz?||
pzzz,.,,,,21
亚纯函数的刻画当无穷远点是极点时,在这点的主要部分是：
此外,无穷远点是可去奇点或极点 。 在每一个有限点附近把 f(z)展开为洛朗级数,并且设在点的主要部分是：?z
);,.,,,3,2,1(
)(
.,,
)(
)(
)(
2
)(
2
)(
1
p
zz
c
zz
c
zz
c
zh
;.,,)( 221 qq zAzAzAzg
亚纯函数的刻画：
而当无穷远点是可去极点时,令令 )()()( zRzfzF
.0)(?zg
其中 )()(.,,)()()( 21 zgzhzhzhzR p
是一个有理函数 。 函数 F(z)除去 在 pzzz,.,,,,21?
有可去奇点外,在其余各点解析；这是因为由于展式的唯一性,F(z)在 及
pzzz,.,,,,21?附近的洛朗展式都不包含主要部分 。 因此,令
),,.,,3,2,1)((lim)( pzFzF zz
F(z)就是一个有界整函数 。 由刘维尔定理,
F(z)= C（ 常数 ）,从而 f(z)=R(z)+C。
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
第五章第三节,整函数与亚纯函数整函数的概念如果 f(z)在有限复平面 C上解析,那么它就称为一个整函数 。 显然无穷远点是整函数的孤立奇点 。 在 C上,f(z) f(z)围绕无穷远点的洛朗展式也就是其泰勒展式：
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0
n
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当 f(z)恒等于一个常数时,无穷远点是它的可去奇点；当 f(z)是 次多项式时,无穷远点是它的 n阶极点；在其它情况下,无穷远点是 f(z)
的本性奇点,而这时称 f(z)为一个超越整函数 。
)1(?n
代数基本定理：
代数基本定理,任何 次代数方程至少有一个根 。
例如
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都是超越整函数,无穷远点是它们的本性奇点
。 由刘维尔定理,我们有
)1(?n
证明：设
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是一个这样的代数方程 。 我们要证明整函数 P(z)至少有一个零点 。 反证之,假定 P(z)没有零点,那么也是一个整函数,因为代数基本定理：
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1
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所以我们有
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因而 在全平面上有界,于是根据刘维尔定理,
代数基本定理：
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1
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恒等于 0,与所设矛盾,因此 P(z)至少有一个零点 。
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注解 1,此定理也表明,任何 n次多项式恰有 n个根 。
注解 2,此定理具有非常广泛的应用 。
整函数定理 10.1 设 f(z)是一个整函数,按照 是可去奇点,阶极点或本性奇点,必须而且只需 f(z)是恒等于常数,次多项式或超越整函数 。
z
)1(?n
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证明：设 是 f(z)的可去奇点,那么为有限复数,从而 f(z)有界,由刘维尔定理,f(z)恒等于一个常数 。
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设 是 f(z)的极点或本性奇点时,设 f(z)在的主要部分是
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z
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k zzzg 或整函数与亚纯函数的概念那么 是 f(z)-g(z)的可去奇点 。 因此,
f(z)=g(z)+C,其中 C为一个常数 。
z
定理的必要性显然成立 。
亚纯函数的概念如果函数 f(z)在有限平面上除去有极点外,
到处解析,那么它就称为一个亚纯函数 。
亚纯函数是整函数的推广,它可能有无穷多个极点 。 例如 是一个亚纯函数,它有极点
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1
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有理函数
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亚纯函数的概念也是一个亚纯函数,它在有限复平面上有有限个极点,而无穷远点是它的极点 （ 当 n>m时 ）
或可去奇点 （ 当 时 ）,在这里mn?
),.,,,2,1,0;,.,,,2,1,0(,mlnklk
是复常数,m及 n是正整数 。
定理 10.2
定理 10.2如果无穷远点是亚纯函数的可去奇点或极点,那么是一个有理函数 。
证明：如果无穷远点是 f(z)的可去奇点或极点,
那么可找到一个有限的 R,使得 f(z)在
|| zR
内解析 。 在 上,f(z)只可能有有限个极点
,因为否则极点的极限点既不是极点,而且函数也不可能在这点解析,这是不可能的 。 因此
f(z)只可能有有限个极点,设为
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亚纯函数的刻画当无穷远点是极点时,在这点的主要部分是：
此外,无穷远点是可去奇点或极点 。 在每一个有限点附近把 f(z)展开为洛朗级数,并且设在点的主要部分是：?z
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亚纯函数的刻画：
而当无穷远点是可去极点时,令令 )()()( zRzfzF
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其中 )()(.,,)()()( 21 zgzhzhzhzR p
是一个有理函数 。 函数 F(z)除去 在 pzzz,.,,,,21?
有可去奇点外,在其余各点解析；这是因为由于展式的唯一性,F(z)在 及
pzzz,.,,,,21?附近的洛朗展式都不包含主要部分 。 因此,令
),,.,,3,2,1)((lim)( pzFzF zz
F(z)就是一个有界整函数 。 由刘维尔定理,
F(z)= C（ 常数 ）,从而 f(z)=R(z)+C。
It’s The End！
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