Department of Mathematics
第七章 共形映射第 7.1节 单叶解析函数的映射性质单叶解析函数的映射性质
---一般概念,
解析函数所确定的映射是保形映射 。 它是复变函数论中最重要的概念之一,与物理中的概念有密切的联系,而且对物理学中许多领域有重要的应用 。
如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学,弹性力学,磁场,电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题 。 不但如此,
20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展 。
单叶解析函数的映射性质 我们主要研究单叶解析函数的映射性质 。
设函数 w=f(z)在区域内解析,并且在任意不同点
,函数所取的值不同 。 那么我们就称它为区域的单叶解析函数,简称即为单叶函数 。
注解 1,单叶函数是确定一个单射的解析函数 。
例子：例 1,函数 w=z+a及 w=az是 z平面上的单叶解析函数它们把 z平面映射成 w平面,
其中 a是复常数,并且对于第二个映射 。0
例 2,在每个带形zew?
,2Im aza
内单叶解析,并且把这个带形映射成 z平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域,其中 a是任意实常数 。
引理 1.1:注解 2,上面的例子把 z平面上的区域映射成 w平面上的区域 。
引理 1.1 设函数 f(z)在 z=z0解析,并且 w0=f(z0),
设,..)3,2,1(0)(,0)(...)('')(' 0)(0)1(00 pzfzfzfzf pp
那么 f(z)-w0在 z0有 p阶零点,并且对充分小的正数
||0 0ww
在0)( wzf ||0
0zz
,存在着一个正数,使得在 内有 p个一阶零点 。
引理 1.1:
证明,f(z)-w0在 z0有 p阶零点是显然的 。
由于 f(z)不恒等于零,可以作出以 z0为心的开圆盘, |:|
0zzD
其边界为 C,使得 f(z)在 CDD
并且使得 f(z)-w0及 f’(z)除去在 z0外在上无其它零点 。 那么
,0|)(|m i n 0
wzf
Cz
其边界为,使得 在 上解析,
引理 1.1的证明：取 w,使
||0 0ww
现在应用儒歇定理,比较 f(z)-w及 f(z)-w0在内 D的零点的个数 。 由于
),())(()( 00 wwwzfwzf
而当 Cz?
,0|||)(| 00 wwwzf?
可见 f(z)-w及 f(z)-w0在 D内的零点个数同为 p（ 每个 n阶零点作 n个零点 ） 。
这是因为
0ww? 0zz?
0]')([
0
zzwzf
而当 时这是因为,所以这是因为,所以,而定理 1.1:定理 1.1,设函数 f(z)在区域 D内单叶解析,那么在 D内任一点,,0)('?zf
证明：反证之 。 假定,0)(',
00 zfDz
那么由引理 1.1,可得出与单叶相矛盾得结论 。
注解 1,如果一个函数在区域 D内单叶解析,那么它的导数在 D内任意一点不等于零；
注解 2,反之,这个定理的逆定理不成立,例如
w=ez的导数在 z平面上任意一点不为零,而这个函数在整个 z平面上不是单叶的 。
定理 1.2,3:定理 1.2,设函数 w=f(z)在 z=z
0解析,并且 0)(' 0?zf
定理 1.3,设函数 w=f(z)在区域 D内解析,并且不恒等于常数,那么 D1 =f(z)是一个区域,即 f确定从 D到 D1的一个满射 。
证明：先证明 D1是开集,即证明任一点 10 Dw?
是它的内点 。 设 Dz?
0 00 )( wzf?
由引理 1.1,可以找到一个正数?
|| 01 ww
那么 f(z)在 z0的一个邻域内单叶解析 。
是它的内点 。 设,并且 。
,使得对于任何满足定理 1.3的证明,的复数 w
1,我们有,使得 。Dz?1 11 )( wzf?
因此开圆盘
|| 0ww
包含在 D1内,即 w0是 D1的内点 。
其次我们证明的连通性,即证明在 D1内任意不同两点 w1及 w2可以用在 D1的一条折线连接起来我们有,使得 。
)()( btatzz
2211 )(,)( wzfwzfDzz?21,
由于 D是一个区域,在 D内有折线定理 1.3的证明,连接 z
1及 z2,在这里 。 )(),( 21 bzzazz
函数 w=f(z)把这条折线上每一条线段映射成 D1
内一条光滑曲线,从而把这折线映射成 D1内连接 w1及 w2的一条光滑曲线：
)())((,btatzfw
另一方面,由于 是 D1内的一个紧集,根据有限覆盖定理,它可以被 D1内有限个开圆盘所覆盖,
从而在 D1内可以作出 w1及 w2连接的折线 。
1?
定理 1.4:注解：如果 w=f(z)在区域 D内单叶解析,那么根据定理 1.3,它把区域 D双射成区域 )(
1 DfD?
于是 f(z)有一个在 D1内确定的反函数 。
定理 1.4设函数 f(z)在区域 D内单叶解析,并且
D1=f(D)那么 w=f(z)有一个在 D1内单叶解析的反函数,
)( wz
并且如果,那么 )(,0010 wzDw
.
)('
1)('
0
0 zfw
定理 1.4的证明,证明：先证明 在 D
1内任一点连续 。)( wz
由引理 1.1,任给,选取这一引理结论中的正数 及,使得
0
,
那么当 时 ||
0ww
,|)()(| 0 ww
因此 在 D1内任一点连续 。)( wz
下面证明导数公式成立 。 当,并且时,我们有
1Dw? )( wz
0,zzDz
定理 1.4的证明,于是
,1)()(
0
0
0
0
0
0
zz
ww
ww
zz
ww
ww
因为当 时,0ww? )()(
00 zzwz
所以
0
0
0
0
00
lim1)()(lim
zz
ww
ww
ww
zzww
,
)('
1)()(lim1
00
0
0 zfzz
zfzf
zz
即定理的结论成立 。
导数幅角的几何意义,
设函数 w=f(z)是区域 D内的单叶解析函数 。 设
)(,000 zfwDz
则我们有,0)('
0?zf
考虑在过 z0的一条简单光滑曲线 C：
),()()()( btatiytxtzz
其中 x(t)及 y(t)是 z(t)的实部和虚部 。 设
]),[()( 000 batztz
由于
),(')(')(' tiytxtzdtdz
曲线 C在 z=z0的切线与实轴的夹角是 z’(t0)的幅角
)(' 0tzA rg
导数幅角的几何意义,
作通过曲线 C上之点 z0=z(t0)及 z1=z(t1)的割线,由于割线的方向与向量
01
01
tt
zz
的方向一致,可以看出：只要当 z1趋近于 z0时向量 与实轴的夹角 连续变动趋近于极限,
01
01
tt
zz
01
01a r g
tt
zz
那么当 t1趋近于 t0时,割线确有极限位置,即为曲线 C在 z=z0的切线的位置 。
导数幅角的几何意义,
但由光滑曲线的条件,极限
,0)('l im 0
01
01
01
tz
tt
zz
tt
存在 。 因此下列极限也存在：
),('a r ga r glim 0
01
01
01
tz
tt
zz
tt
它就是曲线 C在 z0=z(t0)处切线与实轴的夹角,
在这里幅角是连续变动的,并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的 。
)( 00 tzz?
导数幅角的几何意义,
函数 w=f(z)把简单光滑曲线 C映射成过的一条简单曲线：
)( 00 zfw?
),())((,btatzfw
由于,可见 也是一条光滑曲线；它在 w0的切线与实轴的夹角是
)('))((' 00 tztzfdtdw?
),('ar g))(('ar g)('))(('ar g 0000 tztzftztzf
因此,在 w0处切线与实轴的夹角及 C在 z0
处切线与实轴的夹角相差 。 这一数值与曲线 C的形状及在 z0处切线的方向无关 。
0z
y
x
0z
zz0
0
v
u
0w ww0
0
C?
导数幅角的几何意义,
设在 D内过 z0还有一条简单光滑曲线
)(,11 tzzC?
函数 w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线
))((,11 tzfw
和上面一样,与 在 z0及 w0处切线与实轴的夹角分别是 及
1C 1?
)('ar g 01 tz
),('a r g))(('a r g)('))(('a r g 01010101 tztzftztzf
所以,在 w0处曲线 到曲线 的夹角恰好等于在 z0处曲线 C到曲线 C1的夹角：
1?
),('a r g)('a r g)('))(('a r g)('))(('a r g 001000101 tztztztzftztzf
导数幅角的几何意义,
因此,用单叶解析函数作映射时,曲线间的夹角的大小及方向保持不变,我们成这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性 。
y
x
0z
0?
C
v
u
0w
0?
'C
1?
01
1?
01
1?
z-z0及 w平面上向量导数模的几何意义,
上面是对单叶解析函数的导数的幅角所作的几何解释,下面再说明它的模的几何意义 。
根据假设,我们有
,
||
|)()(|lim|)('|
0
0
0
0 zz
zfzfzf
zz?
由于 是比值 的极限,|)('|
0zf
||
|)()(|
0
0
zz
zfzf
它可以近似地表示这种比值 。 在 w=f(z)所作映射下,|z-z0|及 |f(z) -f(z0)|分别表示 z平面上向量
)()( 0zfzf?
导数模的几何意义,
的长度,这里向量 z-z0及 f(z) -f(z0)的起点分别取在 z0及 f(z0) 。
当 |z-z0|较小时,|f(z) -f(z0)|近似地表示通过映射后,|f(z) -f(z0)|对 |z-z0|的伸缩倍数,
而且这一倍数与向量 z-z0的方向无关 。
因此,我们把 |f’(z0)| 称为在点 z0的伸缩率 。
导数的几何意义,
现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义 。 设 w=f(z)是在区域 D内解析的函数,
0)(',),(,00000 zfDzzfwDz
那么 w=f(z)把 z0的一个邻域内任一小三角形映射成 w平面上含 z0的一个区域内的曲边三角形 。
这两个三角形的对应角相等,对应边近似成比例 。
导数的几何意义,
所以,我们把单叶解析函数所确定的映射称为保形映射或映照,或称为共形映射或保角映射 。 它在每一点保角,并且在每一点具有一定的伸缩率 。
因此这两个三角形近似地是相似形 。 此外
,w=f(z)还把 z平面上半径充分小的圆
|| 0zz近似地映射成圆
),0(|)('||| 00zfww
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
第七章 共形映射第 7.1节 单叶解析函数的映射性质单叶解析函数的映射性质
---一般概念,
解析函数所确定的映射是保形映射 。 它是复变函数论中最重要的概念之一,与物理中的概念有密切的联系,而且对物理学中许多领域有重要的应用 。
如应用保形映射成功地解决了流体力学与空气动力学,弹性力学,磁场,电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题 。 不但如此,
20世纪中亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展 。
单叶解析函数的映射性质 我们主要研究单叶解析函数的映射性质 。
设函数 w=f(z)在区域内解析,并且在任意不同点
,函数所取的值不同 。 那么我们就称它为区域的单叶解析函数,简称即为单叶函数 。
注解 1,单叶函数是确定一个单射的解析函数 。
例子：例 1,函数 w=z+a及 w=az是 z平面上的单叶解析函数它们把 z平面映射成 w平面,
其中 a是复常数,并且对于第二个映射 。0
例 2,在每个带形zew?
,2Im aza
内单叶解析,并且把这个带形映射成 z平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域,其中 a是任意实常数 。
引理 1.1:注解 2,上面的例子把 z平面上的区域映射成 w平面上的区域 。
引理 1.1 设函数 f(z)在 z=z0解析,并且 w0=f(z0),
设,..)3,2,1(0)(,0)(...)('')(' 0)(0)1(00 pzfzfzfzf pp
那么 f(z)-w0在 z0有 p阶零点,并且对充分小的正数
||0 0ww
在0)( wzf ||0
0zz
,存在着一个正数,使得在 内有 p个一阶零点 。
引理 1.1:
证明,f(z)-w0在 z0有 p阶零点是显然的 。
由于 f(z)不恒等于零,可以作出以 z0为心的开圆盘, |:|
0zzD
其边界为 C,使得 f(z)在 CDD
并且使得 f(z)-w0及 f’(z)除去在 z0外在上无其它零点 。 那么
,0|)(|m i n 0
wzf
Cz
其边界为,使得 在 上解析,
引理 1.1的证明：取 w,使
||0 0ww
现在应用儒歇定理,比较 f(z)-w及 f(z)-w0在内 D的零点的个数 。 由于
),())(()( 00 wwwzfwzf
而当 Cz?
,0|||)(| 00 wwwzf?
可见 f(z)-w及 f(z)-w0在 D内的零点个数同为 p（ 每个 n阶零点作 n个零点 ） 。
这是因为
0ww? 0zz?
0]')([
0
zzwzf
而当 时这是因为,所以这是因为,所以,而定理 1.1:定理 1.1,设函数 f(z)在区域 D内单叶解析,那么在 D内任一点,,0)('?zf
证明：反证之 。 假定,0)(',
00 zfDz
那么由引理 1.1,可得出与单叶相矛盾得结论 。
注解 1,如果一个函数在区域 D内单叶解析,那么它的导数在 D内任意一点不等于零；
注解 2,反之,这个定理的逆定理不成立,例如
w=ez的导数在 z平面上任意一点不为零,而这个函数在整个 z平面上不是单叶的 。
定理 1.2,3:定理 1.2,设函数 w=f(z)在 z=z
0解析,并且 0)(' 0?zf
定理 1.3,设函数 w=f(z)在区域 D内解析,并且不恒等于常数,那么 D1 =f(z)是一个区域,即 f确定从 D到 D1的一个满射 。
证明：先证明 D1是开集,即证明任一点 10 Dw?
是它的内点 。 设 Dz?
0 00 )( wzf?
由引理 1.1,可以找到一个正数?
|| 01 ww
那么 f(z)在 z0的一个邻域内单叶解析 。
是它的内点 。 设,并且 。
,使得对于任何满足定理 1.3的证明,的复数 w
1,我们有,使得 。Dz?1 11 )( wzf?
因此开圆盘
|| 0ww
包含在 D1内,即 w0是 D1的内点 。
其次我们证明的连通性,即证明在 D1内任意不同两点 w1及 w2可以用在 D1的一条折线连接起来我们有,使得 。
)()( btatzz
2211 )(,)( wzfwzfDzz?21,
由于 D是一个区域,在 D内有折线定理 1.3的证明,连接 z
1及 z2,在这里 。 )(),( 21 bzzazz
函数 w=f(z)把这条折线上每一条线段映射成 D1
内一条光滑曲线,从而把这折线映射成 D1内连接 w1及 w2的一条光滑曲线：
)())((,btatzfw
另一方面,由于 是 D1内的一个紧集,根据有限覆盖定理,它可以被 D1内有限个开圆盘所覆盖,
从而在 D1内可以作出 w1及 w2连接的折线 。
1?
定理 1.4:注解：如果 w=f(z)在区域 D内单叶解析,那么根据定理 1.3,它把区域 D双射成区域 )(
1 DfD?
于是 f(z)有一个在 D1内确定的反函数 。
定理 1.4设函数 f(z)在区域 D内单叶解析,并且
D1=f(D)那么 w=f(z)有一个在 D1内单叶解析的反函数,
)( wz
并且如果,那么 )(,0010 wzDw
.
)('
1)('
0
0 zfw
定理 1.4的证明,证明：先证明 在 D
1内任一点连续 。)( wz
由引理 1.1,任给,选取这一引理结论中的正数 及,使得
0
,
那么当 时 ||
0ww
,|)()(| 0 ww
因此 在 D1内任一点连续 。)( wz
下面证明导数公式成立 。 当,并且时,我们有
1Dw? )( wz
0,zzDz
定理 1.4的证明,于是
,1)()(
0
0
0
0
0
0
zz
ww
ww
zz
ww
ww
因为当 时,0ww? )()(
00 zzwz
所以
0
0
0
0
00
lim1)()(lim
zz
ww
ww
ww
zzww
,
)('
1)()(lim1
00
0
0 zfzz
zfzf
zz
即定理的结论成立 。
导数幅角的几何意义,
设函数 w=f(z)是区域 D内的单叶解析函数 。 设
)(,000 zfwDz
则我们有,0)('
0?zf
考虑在过 z0的一条简单光滑曲线 C：
),()()()( btatiytxtzz
其中 x(t)及 y(t)是 z(t)的实部和虚部 。 设
]),[()( 000 batztz
由于
),(')(')(' tiytxtzdtdz
曲线 C在 z=z0的切线与实轴的夹角是 z’(t0)的幅角
)(' 0tzA rg
导数幅角的几何意义,
作通过曲线 C上之点 z0=z(t0)及 z1=z(t1)的割线,由于割线的方向与向量
01
01
tt
zz
的方向一致,可以看出：只要当 z1趋近于 z0时向量 与实轴的夹角 连续变动趋近于极限,
01
01
tt
zz
01
01a r g
tt
zz
那么当 t1趋近于 t0时,割线确有极限位置,即为曲线 C在 z=z0的切线的位置 。
导数幅角的几何意义,
但由光滑曲线的条件,极限
,0)('l im 0
01
01
01
tz
tt
zz
tt
存在 。 因此下列极限也存在：
),('a r ga r glim 0
01
01
01
tz
tt
zz
tt
它就是曲线 C在 z0=z(t0)处切线与实轴的夹角,
在这里幅角是连续变动的,并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的 。
)( 00 tzz?
导数幅角的几何意义,
函数 w=f(z)把简单光滑曲线 C映射成过的一条简单曲线：
)( 00 zfw?
),())((,btatzfw
由于,可见 也是一条光滑曲线；它在 w0的切线与实轴的夹角是
)('))((' 00 tztzfdtdw?
),('ar g))(('ar g)('))(('ar g 0000 tztzftztzf
因此,在 w0处切线与实轴的夹角及 C在 z0
处切线与实轴的夹角相差 。 这一数值与曲线 C的形状及在 z0处切线的方向无关 。
0z
y
x
0z
zz0
0
v
u
0w ww0
0
C?
导数幅角的几何意义,
设在 D内过 z0还有一条简单光滑曲线
)(,11 tzzC?
函数 w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线
))((,11 tzfw
和上面一样,与 在 z0及 w0处切线与实轴的夹角分别是 及
1C 1?
)('ar g 01 tz
),('a r g))(('a r g)('))(('a r g 01010101 tztzftztzf
所以,在 w0处曲线 到曲线 的夹角恰好等于在 z0处曲线 C到曲线 C1的夹角：
1?
),('a r g)('a r g)('))(('a r g)('))(('a r g 001000101 tztztztzftztzf
导数幅角的几何意义,
因此,用单叶解析函数作映射时,曲线间的夹角的大小及方向保持不变,我们成这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性 。
y
x
0z
0?
C
v
u
0w
0?
'C
1?
01
1?
01
1?
z-z0及 w平面上向量导数模的几何意义,
上面是对单叶解析函数的导数的幅角所作的几何解释,下面再说明它的模的几何意义 。
根据假设,我们有
,
||
|)()(|lim|)('|
0
0
0
0 zz
zfzfzf
zz?
由于 是比值 的极限,|)('|
0zf
||
|)()(|
0
0
zz
zfzf
它可以近似地表示这种比值 。 在 w=f(z)所作映射下,|z-z0|及 |f(z) -f(z0)|分别表示 z平面上向量
)()( 0zfzf?
导数模的几何意义,
的长度,这里向量 z-z0及 f(z) -f(z0)的起点分别取在 z0及 f(z0) 。
当 |z-z0|较小时,|f(z) -f(z0)|近似地表示通过映射后,|f(z) -f(z0)|对 |z-z0|的伸缩倍数,
而且这一倍数与向量 z-z0的方向无关 。
因此,我们把 |f’(z0)| 称为在点 z0的伸缩率 。
导数的几何意义,
现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义 。 设 w=f(z)是在区域 D内解析的函数,
0)(',),(,00000 zfDzzfwDz
那么 w=f(z)把 z0的一个邻域内任一小三角形映射成 w平面上含 z0的一个区域内的曲边三角形 。
这两个三角形的对应角相等,对应边近似成比例 。
导数的几何意义,
所以,我们把单叶解析函数所确定的映射称为保形映射或映照,或称为共形映射或保角映射 。 它在每一点保角,并且在每一点具有一定的伸缩率 。
因此这两个三角形近似地是相似形 。 此外
,w=f(z)还把 z平面上半径充分小的圆
|| 0zz近似地映射成圆
),0(|)('||| 00zfww
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
