Department of Mathematics
第五章第二节,解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质设函数 f(z)在区域
|| zR
内解析,那么无穷远点称为 f(z)的孤立奇点 。 在这个区域内,f(z)有洛朗级数展式：
,)(?
n
n
n zzf?
其中系数由定理 7.1中类似的公式确定 。
令,按照 R>0或 R=0,我们得到在
wz
1?
R
w 1||0
或 解析函数在无穷远点的性质 ||0 w
内解析的函数
)1()( wfw
其洛朗级数展式是：
,)(?
n
n
n
wz
如果 w=0是 的可去奇点,（ m阶 ） 极点或本性奇点,那么分别说 是 f(z)的可去奇点
,（ m阶 ） 极点或本性奇点 。
)(z?
z
解析函数在无穷远点的性质
（ 1）,如果当时 n=1,2,3,…,,那么是 f(z)的可去奇点 。
0?n?
0?n?
z
（ 2）,如果只有有限个 （ 至少一个 ） 整数 n，
使得,那么 是 f(z)的极点 。?z
设对于正整数 m，,而当 n>m时,
那么我们称 是 f(z)的 m阶极点 。 按照 m=1
或 m>1,我们也称 是 f(z)的单极点或 m重极点 。
0?m? 0?n?
z
z
（ 3）,如果有无限个整数 n>0,使得,
那么我们说 是 f(z)的本性奇点 。
0?n?
z
解析函数在无穷远点的性质注解 1,我们也称
,,
10
n
n
n
n
n
n zz
分别为级数 的解析部分和主要部分 。,
n
n
n z?
注解 2,若 为 f(z)的可去奇点,我们也说
f(z)在无穷远点解析 。
z
注解 3,上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形,我们综合如下：
解析函数在无穷远点的性质系 9.1设函数 f(z)在区域 内解析,那么 是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数,使得 f(z)在内有界 。
定理 9.1 设函数 f(z)在区域 内解析,
那么 是 f(z)的可去奇点,极点或本性奇点的必要与充分条件是：
|| zR
z
存在着极限,无穷极限或不存在有限或无穷的极限 。
)(lim zfz
)(lim zfz
|| zR
z
)(0 R
|| 00 zz?
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
第五章第二节,解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质设函数 f(z)在区域
|| zR
内解析,那么无穷远点称为 f(z)的孤立奇点 。 在这个区域内,f(z)有洛朗级数展式：
,)(?
n
n
n zzf?
其中系数由定理 7.1中类似的公式确定 。
令,按照 R>0或 R=0,我们得到在
wz
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R
w 1||0
或 解析函数在无穷远点的性质 ||0 w
内解析的函数
)1()( wfw
其洛朗级数展式是：
,)(?
n
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如果 w=0是 的可去奇点,（ m阶 ） 极点或本性奇点,那么分别说 是 f(z)的可去奇点
,（ m阶 ） 极点或本性奇点 。
)(z?
z
解析函数在无穷远点的性质
（ 1）,如果当时 n=1,2,3,…,,那么是 f(z)的可去奇点 。
0?n?
0?n?
z
（ 2）,如果只有有限个 （ 至少一个 ） 整数 n，
使得,那么 是 f(z)的极点 。?z
设对于正整数 m，,而当 n>m时,
那么我们称 是 f(z)的 m阶极点 。 按照 m=1
或 m>1,我们也称 是 f(z)的单极点或 m重极点 。
0?m? 0?n?
z
z
（ 3）,如果有无限个整数 n>0,使得,
那么我们说 是 f(z)的本性奇点 。
0?n?
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解析函数在无穷远点的性质注解 1,我们也称
,,
10
n
n
n
n
n
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分别为级数 的解析部分和主要部分 。,
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注解 2,若 为 f(z)的可去奇点,我们也说
f(z)在无穷远点解析 。
z
注解 3,上一段的结论都可以推广到无穷远点的情形,我们综合如下：
解析函数在无穷远点的性质系 9.1设函数 f(z)在区域 内解析,那么 是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着某一个正数,使得 f(z)在内有界 。
定理 9.1 设函数 f(z)在区域 内解析,
那么 是 f(z)的可去奇点,极点或本性奇点的必要与充分条件是：
|| zR
z
存在着极限,无穷极限或不存在有限或无穷的极限 。
)(lim zfz
)(lim zfz
|| zR
z
)(0 R
|| 00 zz?
It’s The End！
Thank You！
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