Department of Mathematics
第五章第二节、孤立奇点解析函数的孤立奇点：
设函数 f(z)在去掉圆心的圆盘
)0(||0,0 RRzzD
内确定并且解析,那么我们称 为 f(z)的孤立奇点 。 在 D内,f(z)有洛朗展式
0z
,)()( 0?
n
n
n zzzf?
其中
,.,,)2,1,0(,
)(
)(
2
1
1
0
C nn
nd
z
f
i
是圆 ).0(|| 0 Rzz
C
孤立奇点的分类 — 可去奇点：
一般地,对于上述函数 f(z),按照它的洛朗展式含负数幂的情况 （ 主要部分的情况 ）,可以把孤立奇点分类如下：
（ 1）,如果当时 n=-1,-2,-3,…,
例如,0是 的孤立奇点 。ze
z
z
z
z 1
2,
s in,s in
0?n?
那么我们说 是 f(z)的可去奇点,或者说 f(z)在有可去奇点 。
0z
0z
这是因为令,就得到在整个圆盘内的解析函数 f(z)。00
)(zf
Rzz || 0
孤立奇点的分类 -极点：
（ 2）,如果只有有限个 （ 至少一个 ） 整数 n，
使得,0?n?
那么我们说 是 f(z)的极点 。0z
设对于正整数 m，,0 m?
而当 n<-m时,,0?n?
那么我们 是 f(z)的 m阶极点 。 按照 m=1或 m>1
,我们也称 是 f(z)的单极点或 m重极点 。0z
0z
孤立奇点的分类 — 本性奇点：
（ 3）,如果有无限个整数 n<0,使得
0?n?
那么我们说 是 f(z)的本性奇点 。0z
例如,0分别是
ze
z
z
z
z 1
2,
s in,s in
的可去奇点,单极点及本性奇点 。
可去奇点的刻画 --定理 8.1：
定理 8.1函数 f(z)
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限,
0z
0)(li m
0
zf
zz其中 是一个复数 。
0?
证明,（ 必要性 ） 。 由假设,在内,f(z)有洛朗级数展式,Rzz ||0 0
.,,)(.,,)()( 0010 nn zzzzzf
可去奇点的刻画：
因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是 R,所以它的和函数在 内解析,于是显然存在着,Rzz || 0
.)(li m 0
0
zfzz
（ 充分性 ） 。 设在 内,f(z)的洛朗级数展式是
Rzz ||0 0
,)()( 0?
n
n
n zzzf?
由假设,存在着两个正数 M及,使得在内,
)(0 R
00 ||0 zz
,|)(| Mzf?
可去奇点的刻画：
那么取,使得,我们有00
,.,,)2,1,0(2
2
1||
1 n
MM
nnn
当 n=-1,-2,-3,… 时,在上式中令 趋近于 0,就得到
,.,,)3,2,1(0 nn?
于是 是 f(z)的可去奇点 。0z
可去奇点的刻画 --系 8.1：
系 8.1函数 f(z)
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是,存在着某一个正数,使得 f(z)在内有界 。
0z
00 ||0 zz
)(0 R
下面研究极点的特征 。 设函数 f(z)在 Rzz ||0
0
内解析,是 f(z)的 阶极点,那么,f(z)
有洛朗展式：
0z )1(?m
极点的刻画：
在这里 。 于是在 内
.,,)(.,,)(
.,,
)()(
)(
0010
0
1
1
0
1
0
n
n
m
m
m
m
zzzz
zzzzzz
zf
0 m? Rzz ||0 0
)(
)(
1
...)(...)(
...)([
)(
1
)(
0
000
01
0
z
zz
zzzz
zz
zz
zf
m
mn
n
m
mmm
极点的刻画：在这里 是一个在 内解析的函数
,并且
)(z?
Rzz || 0
Rzz || 0
0)( 0?z?
反之,如果函数 f(z)在
Rzz ||0 0
内可以表示成为上面的形状,而 是一个在内解析的函数,并且
,那么可以推出 是 f(z)的 m阶极点 。
)(z?
0)( 0?z?
0z
极点的刻画 — 定理 8.2：定理 8.2设函数 f(z)在
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的极点的必要与充分条件是：
0z
.)(lim
0
zf
zz
证明：必要性是显然的,我们只证明充分性 。
在定理的假设下,存在着某个正数 ),(0 R
使得在 内,,00 ||0 zz 0)(?zf
于是 在 内解析,不等于零,而且 )(
1)(
zfzF? 00
||0 zz
极点的刻画：
因此 是 F(z)的一个可去奇点,从而
0)(1lim)(lim
00
zf
zF
zzzz
0z 00 ||0 zz
内,有洛朗级数展式：
.,,)(.,,)()( 0010 nn zzzzzF
我们有,0)(lim
0
0 zFzz?
由于在 内,,由定理 5.1,可以设
00 ||0 zz 0)(?zF
0,0..,110 mm
由此得,)()()(
0 zzzzF m
其中 在 内解析,并且不等于零极点的刻画：
00 || zz)(z?
).0)(( 0 mz?
于是在 内 00 ||0 zz
)(
)(
1)(
0
z
zz
zf m?
在这里,
)(
1)(
z
z
在 内解析,00 || zz )0)()(( 10 mmz
因此 是 f(z)的 m阶极点 。0z
极点的刻画 -系 8.2：系 8.2设函数 f(z)在
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的 m阶极点的必要与充分条件是：
0z
m
m
zz
zfzz?
)()(lim 0
0
在这里 m是一个正整数,是一个不等于 0的复数 。
m
本性奇点的刻画：
关于解析函数的本性奇点,我们有下面的结论：
定理 8.3函数 f(z)在
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限
0z
).(lim
0
zfzz?
例：
例 0是函数 的本性奇点,不难看出不存在 。
ze
1 z
z
e
1
0
lim
解：当 z沿正实轴趋近于 0时,趋近于ze
1;
当 z沿负实轴趋近于 0时,趋近于 0；ze1
当 z沿虚轴趋近于 0时,没有极限 。ze
1
It’s The End！
Thank You！
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第五章第二节、孤立奇点解析函数的孤立奇点：
设函数 f(z)在去掉圆心的圆盘
)0(||0,0 RRzzD
内确定并且解析,那么我们称 为 f(z)的孤立奇点 。 在 D内,f(z)有洛朗展式
0z
,)()( 0?
n
n
n zzzf?
其中
,.,,)2,1,0(,
)(
)(
2
1
1
0
C nn
nd
z
f
i
是圆 ).0(|| 0 Rzz
C
孤立奇点的分类 — 可去奇点：
一般地,对于上述函数 f(z),按照它的洛朗展式含负数幂的情况 （ 主要部分的情况 ）,可以把孤立奇点分类如下：
（ 1）,如果当时 n=-1,-2,-3,…,
例如,0是 的孤立奇点 。ze
z
z
z
z 1
2,
s in,s in
0?n?
那么我们说 是 f(z)的可去奇点,或者说 f(z)在有可去奇点 。
0z
0z
这是因为令,就得到在整个圆盘内的解析函数 f(z)。00
)(zf
Rzz || 0
孤立奇点的分类 -极点：
（ 2）,如果只有有限个 （ 至少一个 ） 整数 n，
使得,0?n?
那么我们说 是 f(z)的极点 。0z
设对于正整数 m，,0 m?
而当 n<-m时,,0?n?
那么我们 是 f(z)的 m阶极点 。 按照 m=1或 m>1
,我们也称 是 f(z)的单极点或 m重极点 。0z
0z
孤立奇点的分类 — 本性奇点：
（ 3）,如果有无限个整数 n<0,使得
0?n?
那么我们说 是 f(z)的本性奇点 。0z
例如,0分别是
ze
z
z
z
z 1
2,
s in,s in
的可去奇点,单极点及本性奇点 。
可去奇点的刻画 --定理 8.1：
定理 8.1函数 f(z)
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限,
0z
0)(li m
0
zf
zz其中 是一个复数 。
0?
证明,（ 必要性 ） 。 由假设,在内,f(z)有洛朗级数展式,Rzz ||0 0
.,,)(.,,)()( 0010 nn zzzzzf
可去奇点的刻画：
因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是 R,所以它的和函数在 内解析,于是显然存在着,Rzz || 0
.)(li m 0
0
zfzz
（ 充分性 ） 。 设在 内,f(z)的洛朗级数展式是
Rzz ||0 0
,)()( 0?
n
n
n zzzf?
由假设,存在着两个正数 M及,使得在内,
)(0 R
00 ||0 zz
,|)(| Mzf?
可去奇点的刻画：
那么取,使得,我们有00
,.,,)2,1,0(2
2
1||
1 n
MM
nnn
当 n=-1,-2,-3,… 时,在上式中令 趋近于 0,就得到
,.,,)3,2,1(0 nn?
于是 是 f(z)的可去奇点 。0z
可去奇点的刻画 --系 8.1：
系 8.1函数 f(z)
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的可去奇点的必要与充分条件是,存在着某一个正数,使得 f(z)在内有界 。
0z
00 ||0 zz
)(0 R
下面研究极点的特征 。 设函数 f(z)在 Rzz ||0
0
内解析,是 f(z)的 阶极点,那么,f(z)
有洛朗展式：
0z )1(?m
极点的刻画：
在这里 。 于是在 内
.,,)(.,,)(
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)()(
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极点的刻画：在这里 是一个在 内解析的函数
,并且
)(z?
Rzz || 0
Rzz || 0
0)( 0?z?
反之,如果函数 f(z)在
Rzz ||0 0
内可以表示成为上面的形状,而 是一个在内解析的函数,并且
,那么可以推出 是 f(z)的 m阶极点 。
)(z?
0)( 0?z?
0z
极点的刻画 — 定理 8.2：定理 8.2设函数 f(z)在
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的极点的必要与充分条件是：
0z
.)(lim
0
zf
zz
证明：必要性是显然的,我们只证明充分性 。
在定理的假设下,存在着某个正数 ),(0 R
使得在 内,,00 ||0 zz 0)(?zf
于是 在 内解析,不等于零,而且 )(
1)(
zfzF? 00
||0 zz
极点的刻画：
因此 是 F(z)的一个可去奇点,从而
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00
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内,有洛朗级数展式：
.,,)(.,,)()( 0010 nn zzzzzF
我们有,0)(lim
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由于在 内,,由定理 5.1,可以设
00 ||0 zz 0)(?zF
0,0..,110 mm
由此得,)()()(
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其中 在 内解析,并且不等于零极点的刻画：
00 || zz)(z?
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于是在 内 00 ||0 zz
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1)(
0
z
zz
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在这里,
)(
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z
z
在 内解析,00 || zz )0)()(( 10 mmz
因此 是 f(z)的 m阶极点 。0z
极点的刻画 -系 8.2：系 8.2设函数 f(z)在
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的 m阶极点的必要与充分条件是：
0z
m
m
zz
zfzz?
)()(lim 0
0
在这里 m是一个正整数,是一个不等于 0的复数 。
m
本性奇点的刻画：
关于解析函数的本性奇点,我们有下面的结论：
定理 8.3函数 f(z)在
)0(||0,0 RRzzD
内解析,那么 是 f(z)的本性奇点的必要与充分条件是：不存在有限或无穷极限
0z
).(lim
0
zfzz?
例：
例 0是函数 的本性奇点,不难看出不存在 。
ze
1 z
z
e
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0
lim
解：当 z沿正实轴趋近于 0时,趋近于ze
1;
当 z沿负实轴趋近于 0时,趋近于 0；ze1
当 z沿虚轴趋近于 0时,没有极限 。ze
1
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