Department of Mathematics
第三章 复变函数的积分第 3.1节 柯西定理柯西定理定理 3.1 设 f(z)是单连通区域 D的解析函数,
（ 1） 设 C是 D内任一条简单闭曲线,那么其中,沿曲线 C的积分是按反时针方向取的 。
（ 2） C是在 D内连接 及 z两点的任一条简单曲线,那么沿 C从 到 z的积分值由 及 z所确定,
而不依赖于曲线 C,这时,积分记为,
0)(C dzzf
0z
0z 0z
z
z
df
0
)(
柯西定理的证明：
证明：先证明 (1)成立 。 在 C上任取一点,可以作出圆盘：
因为圆盘是凸区域,由引理 2.2,f(z)在内有原函数 。
*?
)0(}|||{ 00*0 DzzK
0K
)(0 zF
由于 C是一个紧集,由数学分析中的有限覆盖定理,存在有限个圆盘覆盖了 C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为
121,.,,,,?nKKK
柯西定理的证明：
并且用
)(),.,,,(),( 121 zFzFzF n?
表示 f(z)在这些圆盘中的原函数 。 取
11121
21211
,.,,,
,,
KKCKKC
KKCKC
nnnnn
其中是 C上依序按反时针方向取的 。 由引理 2.3,有
1121,,...,, nn?
),( )()([)()(
1
1111
1 1
n
k
nnkkkk
n
kC
FFFFdfdzzf
kk
柯西定理的证明这里,用 表示沿 C从 的弧上的积分,用 表示从 的线段上的积分 。 由引理 2.3,有
1kk 1?kk 到
1kk 1?kk 到
n
kC kk
dfdzzf
1 1
)()(
因为构成中的一条闭合折线,所以由引理 2.1
,得;0)(
C
dzzf
柯西定理证明下面证明 （ 2） 成立 。 设 是在 D内连接 及 z
两点的另一条简单曲线 。 则 是 D内的一条简单闭曲线,由 （ 1）,有
1C 0z
1' CCC
0)('C dzzf
而所以定理的结论成立 。
11
1
)()()()(
)()(
'
CCCC
CCC
dzzfdzzfdzzfdzzf
dzzfdzzf
定理 3.1‘
定理 3.1’ 设 C是一条简单闭曲线,函数 f(z)在以 C为边界的有界闭区域 D上解析,那么
0)(C dzzf
定理 3.2 设 f(z)是单连通区域 D的解析函数,
那么 f(z)在 D内有原函数 。
证明：取定,由定理 3.1,得是在 D内确定的一个函数 。 取充分接近,把
DzD 任取,?
z dfzF )()(
00,zDzDz 与并取
0 )()()()( 0 zz dfdfzFzF
定理 3.2的证明：
D中两个积分看作沿两条简单曲线取的,而其中一条是另一条曲线 与连接及 z的线段的并集 。 于是有
0z
这里积分是沿 及 z的联线取的,同样可证,
有
0z
zz dzffzfzzzFzF 0 )]()([)()()()( 0000
).()(' 00 zfzF?
例 1
例 1,设 D是不含 a的一个单连通区域,并且那么其中 m是不等于 1的整数 。 另外,还设 D在复平面上沿从 a出发的任何射线割开而得得区域内
,我们有
Dzz?,0
])( 1)( 1[1 1)( 1
0
1
0
mm
z
z m azazma
d
),ln ()ln ( 0
0
azazadz
z
其中对数应理解为 Ln(z-a)在 D内的一个解析分支在 z及 的值 。0z
柯西定理的注解：
注解 1,我们可以用原函数求解析函数的积分；
注解 2,区域的单连通性不能直接取掉 。
注解 3,柯西定理可以推广到多连通区域：设有
n+1条简单闭曲线曲线 中每一条都在其余曲线的外区域内,而且所有这些曲线都在 的内区域,
,,...,,10 nCCC
nCC,...,1
0C
nCCC,.,,,,10
围成一个有界多连通区域 D,D及其边界构成一个闭区域 。D
柯西定理的注解：
设 f(z)在 上解析,那么令 C表示 D的全部边界,
我们有
D
0)(
C
dzzf
其中积分是沿 C按关于区域 D的正向取的 。 即沿按反时针方向,沿 按顺时针方向取积分；或者说当点沿着 C按所选定取积分的方向一同运动时,区域 D总在它的左侧 。 因此
0C
nCC,...,1
0)(
...)()()(
10
nC
CCC
dzzf
dzzfdzzfdzzf
柯西定理的注解：
也有：
nCCC dzzfdzzfdzzf )(.,,)()( 10
柯西定理的注解：
注解 4,上面规定区域 D的方向称为正向,以后,
我们总是规定取正向,除非另有说明；
注解 5,多连通区域内的不定积分与多值函数：
设 f(z)是多连通区域 D的解析函数 。 在 D内作连接及 z两点的任一条简单曲线 。 在某两条这样的曲线所包成的闭区域上,f(z)可能不解析,因此不能应用柯西定理,所以 f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等 。 假定这两个积分不相等 。 那么函数：
是多值的 。
0z
zz dfzF 0 )()(
柯西定理的注解：
可是 z当属于包含在 D内的某一单连通区域 D’时
,取曲线如下：从 沿一个固定的简单曲线到
D’内一点,然后从沿 在 D’内一条简单曲线到 z。 沿这种曲线取积分所得的函数 F(z)在 D’内解析 。 改变从 的曲线,我们能够得到不同的解析函数；它们是 F(z)在 D’内的不同解析分支 。
0z
1z
10 zz 到作连接 的两条简单曲线,取定
Argz在 的值为 。
例 2：
例 2,在圆环内解析,在 D内取定两点
),0(||,2121 RRRzRD
zzf
1)(?
21 CC 及
.10 zz 及
10 zz 及
0z 0arg z
当 z沿 从 连续变动到 时,z的幅角从连续变动到 。
于是当 z沿 从 连续变动到 时,z的幅角从 连续变动到 。
1C 0z 1z
0arg z 1argz
0z 1z
0arg z
2C
2ar g 1?z
例 2
现在求 沿的 积分 。 令,则
1
1C
ie?
deided ii
01
0101
lnln
)a r g( a r g||ln||ln
111
zz
zzizz
di
dd
CCC
从而例 2：
同样求得
.2lnln 01
2
izzd
C
这样,在含 的一个单连通区域 （ 在 D内 ） 内
,相应,多值函数
1z?
21 CC 及
z
z
dzF
0
)(
有两个不同的解析分支相应于连接 的其它曲线,还可得到 F(z)
在 D内的其它解析分支,F(z)就是对数函数 。
)2,1()1(2lnln
11
01 kik
dzzdd z
zC
z
zk
10 zz 及
It’s The End！
Thank You！
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第三章 复变函数的积分第 3.1节 柯西定理柯西定理定理 3.1 设 f(z)是单连通区域 D的解析函数,
（ 1） 设 C是 D内任一条简单闭曲线,那么其中,沿曲线 C的积分是按反时针方向取的 。
（ 2） C是在 D内连接 及 z两点的任一条简单曲线,那么沿 C从 到 z的积分值由 及 z所确定,
而不依赖于曲线 C,这时,积分记为,
0)(C dzzf
0z
0z 0z
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柯西定理的证明：
证明：先证明 (1)成立 。 在 C上任取一点,可以作出圆盘：
因为圆盘是凸区域,由引理 2.2,f(z)在内有原函数 。
*?
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由于 C是一个紧集,由数学分析中的有限覆盖定理,存在有限个圆盘覆盖了 C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为
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柯西定理的证明：
并且用
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表示 f(z)在这些圆盘中的原函数 。 取
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其中是 C上依序按反时针方向取的 。 由引理 2.3,有
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柯西定理的证明这里,用 表示沿 C从 的弧上的积分,用 表示从 的线段上的积分 。 由引理 2.3,有
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因为构成中的一条闭合折线,所以由引理 2.1
,得;0)(
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柯西定理证明下面证明 （ 2） 成立 。 设 是在 D内连接 及 z
两点的另一条简单曲线 。 则 是 D内的一条简单闭曲线,由 （ 1）,有
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定理 3.1‘
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定理 3.2 设 f(z)是单连通区域 D的解析函数,
那么 f(z)在 D内有原函数 。
证明：取定,由定理 3.1,得是在 D内确定的一个函数 。 取充分接近,把
DzD 任取,?
z dfzF )()(
00,zDzDz 与并取
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定理 3.2的证明：
D中两个积分看作沿两条简单曲线取的,而其中一条是另一条曲线 与连接及 z的线段的并集 。 于是有
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这里积分是沿 及 z的联线取的,同样可证,
有
0z
zz dzffzfzzzFzF 0 )]()([)()()()( 0000
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例 1
例 1,设 D是不含 a的一个单连通区域,并且那么其中 m是不等于 1的整数 。 另外,还设 D在复平面上沿从 a出发的任何射线割开而得得区域内
,我们有
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柯西定理的注解：
注解 1,我们可以用原函数求解析函数的积分；
注解 2,区域的单连通性不能直接取掉 。
注解 3,柯西定理可以推广到多连通区域：设有
n+1条简单闭曲线曲线 中每一条都在其余曲线的外区域内,而且所有这些曲线都在 的内区域,
,,...,,10 nCCC
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0C
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围成一个有界多连通区域 D,D及其边界构成一个闭区域 。D
柯西定理的注解：
设 f(z)在 上解析,那么令 C表示 D的全部边界,
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其中积分是沿 C按关于区域 D的正向取的 。 即沿按反时针方向,沿 按顺时针方向取积分；或者说当点沿着 C按所选定取积分的方向一同运动时,区域 D总在它的左侧 。 因此
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柯西定理的注解：
也有：
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柯西定理的注解：
注解 4,上面规定区域 D的方向称为正向,以后,
我们总是规定取正向,除非另有说明；
注解 5,多连通区域内的不定积分与多值函数：
设 f(z)是多连通区域 D的解析函数 。 在 D内作连接及 z两点的任一条简单曲线 。 在某两条这样的曲线所包成的闭区域上,f(z)可能不解析,因此不能应用柯西定理,所以 f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等 。 假定这两个积分不相等 。 那么函数：
是多值的 。
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柯西定理的注解：
可是 z当属于包含在 D内的某一单连通区域 D’时
,取曲线如下：从 沿一个固定的简单曲线到
D’内一点,然后从沿 在 D’内一条简单曲线到 z。 沿这种曲线取积分所得的函数 F(z)在 D’内解析 。 改变从 的曲线,我们能够得到不同的解析函数；它们是 F(z)在 D’内的不同解析分支 。
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10 zz 到作连接 的两条简单曲线,取定
Argz在 的值为 。
例 2：
例 2,在圆环内解析,在 D内取定两点
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当 z沿 从 连续变动到 时,z的幅角从连续变动到 。
于是当 z沿 从 连续变动到 时,z的幅角从 连续变动到 。
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例 2
现在求 沿的 积分 。 令,则
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