Department of Mathematics
第一章、复数及复平面第二节 复平面的拓扑
4,初步概念
5,区域、曲线初步概念,
a的 r邻域定义,或以为 a圆心,为 r半径的圆盘 U(a,r)定义为：
，设 ),0(, rCa
},,|| |{ Czrazz
以为 a圆心,为 r半径的闭圆盘定义为：
},,|| |{ Czrazz
).,( raU记为,a
r
极限点、内点、边界点,
中有无穷个点,则称 a为的 E极限点；
若设,,CaCE
,则称 a为 E的内点；
EraUr ),(,0
EraUr ),(0,若对存在中既有属于 E的点,又有不属于 E的点,则称
a为的 E边界点；集 E的全部边界点所组成的集合称为 E的边界,记为
EraUr ),(,0
.E?
闭包、孤立点、开集、闭集,
称为 D 的闭包,记为若对存在一个 r>0,使得
EE,E
则称 a为的 E孤立点 （ 是边界点但不是聚点 ） ；
开集：所有点为内点的集合；
闭集：或者没有聚点,或者所有聚点都属于它；
1,任何集合的闭包一定是闭集；
2,如果存在 r>0,使得,
}{),( aEraU
则称 E是有界集,否则称 E是无界集；
3,复平面上的有界闭集称为紧集 。
),0( rUE?
区域的例子,
例 1,圆盘 U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；
例 2,集合 {z||z-a|=r}是以为 a心,r为半径的圆周,它是圆盘 U(a,r)和闭圆盘的边界 。
例 3,复平面,实轴,虚轴是无界集,复平面是无界开集 。
例 4,集合 E={z|0<|z-a|<r}是去掉圆心的圆盘 。 圆心 a边界点,它是 E边界的孤立点,
是集合 E的聚点 。
无穷远点的邻域,
对一切 r>0,集合称为无穷远点的一个 r邻域 。
类似地,我们可以定义聚点,内点,边界点与孤立点,开集,闭集等概念 。
我们也称扩充复平面为复平面的一点紧化 。
},|||{ Czrzz
区域、曲线,
复平面 C上的集合 D,如果满足：
（ 1） D是开集；
（ 2） D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来,而使这条折线上的所有点完全属于 D。
则称 D是一个区域 。
结合前面的定义,可以定义有有界区域,无界区域 。
连通性,
性质 （ 2） 我们称为连通性,即区域是连通的开集 。
区域 D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域 。
扩充复平面,
在扩充复平面上,不含无穷远点的区域的定义同上；
含无穷远点的区域是 C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集 。
注意,加上无穷远点后,许多性质将有很多变化 。
曲线,
设已给如果 Rez(t)和 Imz(t)都是闭区间 [a,b]上连续函数
,则称这些点组成集合为一条连续曲线 。 如果对上任意不同两点 t及 s,但不同时是的端点
,我们有,
)(),( btatzz
即是一条除端点外不自交的连续曲线,那么上述集合称为一条简单连续曲线,或若尔当曲线
。 若还有 z(a)=z(b),则称为一条简单连续闭曲线,或若尔当闭曲线 。
)()( sztz?
若尔当定理,
若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域,一个无界的称为外区域 。
内区域光滑曲线,
光滑曲线：如果 Rez(t)和 Imz(t)都在闭区间 [a,b]上连续,且有连续的导函数,在
[a,b]上,其导函数恒不为零,则称此曲线为一条光滑曲线；类似地,可以定义分段光滑曲线 。
区域的连通性,
设 D是一个区域,在复平面 C上,如果 D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于 D,则称 D是单连通区域 ;
否则称 D是多连通区域 。
例 1:集合为半平面,它是一个单连通无界区域,其边界为直线：
}0)1()1(|{ ziziz
0)1()1( zizi
0 yx
例 2、集合为一个垂直带形,它是一个单连通无界区域,其边界为两条直线：
}3Re2|{ zz
2Re?z 3Re?z
例 3、集合为一角形,它是一个单连通无界区域,
其边界为半射线：
}3)a r g (2|{ izz
2)a r g ( iz 3)a r g ( iz
例 4、集合,
为一个圆环,它是一个多连通有界区域,
其边界为圆：
}3||2|{ izz
2|| iz
3|| iz
例 5、在扩充复平面上，集合为单连通的无界区域,其边界分别为
}||2|{ zz
而集合
}2|{|?z
为多连通的无界区域,
其边界分别为：
}{}2|{|z
}||2|{ zz
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory Department of Mathematics
How beautiful the sea is!
第一章、复数及复平面第二节 复平面的拓扑
4,初步概念
5,区域、曲线初步概念,
a的 r邻域定义,或以为 a圆心,为 r半径的圆盘 U(a,r)定义为：
，设 ),0(, rCa
},,|| |{ Czrazz
以为 a圆心,为 r半径的闭圆盘定义为：
},,|| |{ Czrazz
).,( raU记为,a
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极限点、内点、边界点,
中有无穷个点,则称 a为的 E极限点；
若设,,CaCE
,则称 a为 E的内点；
EraUr ),(,0
EraUr ),(0,若对存在中既有属于 E的点,又有不属于 E的点,则称
a为的 E边界点；集 E的全部边界点所组成的集合称为 E的边界,记为
EraUr ),(,0
.E?
闭包、孤立点、开集、闭集,
称为 D 的闭包,记为若对存在一个 r>0,使得
EE,E
则称 a为的 E孤立点 （ 是边界点但不是聚点 ） ；
开集：所有点为内点的集合；
闭集：或者没有聚点,或者所有聚点都属于它；
1,任何集合的闭包一定是闭集；
2,如果存在 r>0,使得,
}{),( aEraU
则称 E是有界集,否则称 E是无界集；
3,复平面上的有界闭集称为紧集 。
),0( rUE?
区域的例子,
例 1,圆盘 U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；
例 2,集合 {z||z-a|=r}是以为 a心,r为半径的圆周,它是圆盘 U(a,r)和闭圆盘的边界 。
例 3,复平面,实轴,虚轴是无界集,复平面是无界开集 。
例 4,集合 E={z|0<|z-a|<r}是去掉圆心的圆盘 。 圆心 a边界点,它是 E边界的孤立点,
是集合 E的聚点 。
无穷远点的邻域,
对一切 r>0,集合称为无穷远点的一个 r邻域 。
类似地,我们可以定义聚点,内点,边界点与孤立点,开集,闭集等概念 。
我们也称扩充复平面为复平面的一点紧化 。
},|||{ Czrzz
区域、曲线,
复平面 C上的集合 D,如果满足：
（ 1） D是开集；
（ 2） D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来,而使这条折线上的所有点完全属于 D。
则称 D是一个区域 。
结合前面的定义,可以定义有有界区域,无界区域 。
连通性,
性质 （ 2） 我们称为连通性,即区域是连通的开集 。
区域 D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域 。
扩充复平面,
在扩充复平面上,不含无穷远点的区域的定义同上；
含无穷远点的区域是 C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集 。
注意,加上无穷远点后,许多性质将有很多变化 。
曲线,
设已给如果 Rez(t)和 Imz(t)都是闭区间 [a,b]上连续函数
,则称这些点组成集合为一条连续曲线 。 如果对上任意不同两点 t及 s,但不同时是的端点
,我们有,
)(),( btatzz
即是一条除端点外不自交的连续曲线,那么上述集合称为一条简单连续曲线,或若尔当曲线
。 若还有 z(a)=z(b),则称为一条简单连续闭曲线,或若尔当闭曲线 。
)()( sztz?
若尔当定理,
若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域,一个无界的称为外区域 。
内区域光滑曲线,
光滑曲线：如果 Rez(t)和 Imz(t)都在闭区间 [a,b]上连续,且有连续的导函数,在
[a,b]上,其导函数恒不为零,则称此曲线为一条光滑曲线；类似地,可以定义分段光滑曲线 。
区域的连通性,
设 D是一个区域,在复平面 C上,如果 D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于 D,则称 D是单连通区域 ;
否则称 D是多连通区域 。
例 1:集合为半平面,它是一个单连通无界区域,其边界为直线：
}0)1()1(|{ ziziz
0)1()1( zizi
0 yx
例 2、集合为一个垂直带形,它是一个单连通无界区域,其边界为两条直线：
}3Re2|{ zz
2Re?z 3Re?z
例 3、集合为一角形,它是一个单连通无界区域,
其边界为半射线：
}3)a r g (2|{ izz
2)a r g ( iz 3)a r g ( iz
例 4、集合,
为一个圆环,它是一个多连通有界区域,
其边界为圆：
}3||2|{ izz
2|| iz
3|| iz
例 5、在扩充复平面上，集合为单连通的无界区域,其边界分别为
}||2|{ zz
而集合
}2|{|?z
为多连通的无界区域,
其边界分别为：
}{}2|{|z
}||2|{ zz
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