§ 4 习题课一、主要内容二、例题
（一）中值定理
（二） 洛必达法则一、主要内容
（三） 导数的应用拉格朗日中值定理如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间 [a,b]上连续
(2)在开区间 (a,b)内可导那么在开区间 (a,b)内至少存在一点?,
使得
)()()(?fab afbf ((a,b))
此公式称为 拉格朗日公式推论,导数为零的函数是常数函数罗尔定理如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间 [a,b]上连续
(2)在开区间 (a,b)内可导那么在开区间 (a,b)内至少存在一点?,
使得 f?(?)=0
(3) f(a)=f(b)
洛必达法则 型和
0
0
如果函数 f(x)和 g(x)满足
(1)当 x?a或 x时,f(x)?0,g(x)?0
或 f(x),g(x)
(2) f?(x)和 g?(x)存在,且 g?(x)?0
(3)
)(
)(l i m
xg
xf
存在 (或为无穷大 )
那么
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
型不定式其他类 型不定式
0
1 或
0
10?
0
1
0
1
00
00
0
0
1
0
取对数
ln0
1ln
0ln0
e
e
e
e0
函数单调性的判别设函数 y=f(x)在区间 (a,b)内可导,则该函数在区间 (a,b)内单调增加 (或减少 )
f?(x)≥0(或 f?(x)≤0),x?(a,b),而 f?(x)=0
只在个别点处成立定理,
用方程 f?(x)=0的根及 f?(x)不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间,然后判别各区间内导数的符号,
方法,
f?(x)>0?增 f?(x)<0?减函数的极值及其求法设函数 y=f(x)在点 x0的某邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于 x0的 x值,
都有 f(x)≤ f(x0) (或 f(x)≥ f(x0)),则称函数
f(x)在点 x0处取得 极大值 (或 极小值 )f(x0),
而 x0称为函数 f(x)的 极大点 (或 极小点 ).
极大值和极小值统称为函数的 极值,极大点和极小点统称为函数的 极值点函数极值的定义,
费马定理如果 x0是函数 f(x)的极值点,并且 f(x)
在该点可导,那么 f?(x0)=0
使导数 f?(x)为零的点称为函数 f(x)
的 驻点 或 稳定点注意,
可导函数的极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点定义,
(1)如果 x?(x0,x0),有 f?(x)>0,
而 x?(x0,x0+? ),有 f?(x)<0,
则 f(x)在 x0处取得极大值
(2)如果 x?(x0,x0),有 f?(x)<0,
而 x?(x0,x0+? ),有 f?(x)>0,
则 f(x)在 x0处取得极小值
(3)如果 x?(x0,x0)及 x?(x0,x0+? )时,
f?(x)符号相同,则 f(x)在 x0处无极值判别法则 1 (第一充分条件 )
判别法则 2 (第二充分条件 )
设 f(x)在 x0处具有二阶导数,且
f?(x0)=0,那么
(1)当 f(x0)<0时,则 f(x0)是极大值
(2)当 f(x0)>0时,则 f(x0)是极小值
(3)当 f(x0)=0时,则不能判别 f(x0)是否为极值,改用判别法则 1
求极值的步骤,
(1)求导数 f?(x)
(2)求驻点及不可导点
(3)检查 f?(x)在驻点及不可导点左右的正负性或 f(x)在驻点的符号,判别极值点
(4)求极值最值的求法,
步骤,
1.求驻点和不可导点
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小就是最小值注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值凹凸的判别如果 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,若在 (a,b)内
(1) f(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的
(2) f(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的定理,
若 f(x0)=0或不存在,两侧的 f(x)异号,
则 x0是拐点连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点渐近线
,则直线 y=c是曲线
y=f(x)的一条水平渐近线如果
cxfx )(l i m
1.水平渐近线
,则直线 x=a是曲线
y=f(x)的一条垂直渐近线
2.垂直渐近线如果
)(lim xfax
,则直线
y=ax+b是曲线 y=f(x)的一条斜渐近线
3.斜渐近线如果
0)]()([lim baxxfx
,)(lim x xfa
x
])([lim axxfb x
利用导数绘制函数的图像步骤,1.确定函数的定义域
2.考察函数的奇偶性、周期性
3.求函数的间断点、驻点、不可导点,用这些点划分出若干个子区间
4.列表讨论函数在各个子区间内的增减性、凹凸性,判断极值点和拐点
5.确定曲线的渐近线
6.求曲线上的一些辅助点
7.根据以上讨论完成作图二、典型例题例 1 验证罗尔定理对 y=lnsinx在 [?/6,5?/6]
上的正确性
[证 ] x?(2k?,2k?+?) (k=0,?1,...)
且在 [?/6,5?/6]上连续又 y?=cotx在 (?/6,5?/6)内处处存在且 f(?/6)=f(5?/6) =?ln2
∴ 函数 y=lnsinx在 [?/6,5?/6]上满足罗尔定理的条件由 y?= cotx =0
在 (?/6,5?/6)内显然有解,x=?/2
取?=?/2,则 f?(? )=0
这就验证了命题的正确性例 2 求函数 的单调区间,极值,凹凸区间,拐点,渐近线,作函数的图形解：
12?
x
xxy
x?(,?1)∪ (?1,1)∪ (1,+?)
1
)( 2
x
xxxf =?f(x)
y是奇函数
22
2
)1(
11
x
x
22
22
)1(
)3(
x
xxy?
令 y?=0 3,0,3 x
32
2
)1(
)3(2
x
xx
y
令 y=0?可能拐点的横坐标为 x =0
yxl i m?
=没有水平渐近线
y
x 1
lim?
=,
y
x 1
lim
=+?
x=1为曲线的垂直渐近线
y
x 1
l i m?
=,
y
x 1
lim
=+?
x=?1为曲线的垂直渐近线
x
ya
x
l i m? )
1
(1l i m 2
x
xx
xx
=1
)(l i m axyb x )(lim xyx
1
lim 2
x
x
x
=0
y=x为曲线的斜渐近线以函数的驻点 )3,0,3(x
和可能拐点的横坐标为分点划分定义域列表如下,
x
y?
y
y
)3,( 3? )1,3( (?1,0) 0
+ 0? 0?
+ 0
极大值 拐点
x
y?
y
y
(0,1)
)3,1( 3 ),3(
+
0
极小值
+
+
),3[]3,(单调增加区间,
]3,1()1,1()1,3[单调减少区间,
极大值,3
2
3
3xy
极小值,3
2
3
3xy
),1(]0,1(凹区间,
)1,0[)1,(凸区间,
拐点为,(0,0)
作图,
x
y
o
xy?
1? 1
（一）中值定理
（二） 洛必达法则一、主要内容
（三） 导数的应用拉格朗日中值定理如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间 [a,b]上连续
(2)在开区间 (a,b)内可导那么在开区间 (a,b)内至少存在一点?,
使得
)()()(?fab afbf ((a,b))
此公式称为 拉格朗日公式推论,导数为零的函数是常数函数罗尔定理如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间 [a,b]上连续
(2)在开区间 (a,b)内可导那么在开区间 (a,b)内至少存在一点?,
使得 f?(?)=0
(3) f(a)=f(b)
洛必达法则 型和
0
0
如果函数 f(x)和 g(x)满足
(1)当 x?a或 x时,f(x)?0,g(x)?0
或 f(x),g(x)
(2) f?(x)和 g?(x)存在,且 g?(x)?0
(3)
)(
)(l i m
xg
xf
存在 (或为无穷大 )
那么
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
型不定式其他类 型不定式
0
1 或
0
10?
0
1
0
1
00
00
0
0
1
0
取对数
ln0
1ln
0ln0
e
e
e
e0
函数单调性的判别设函数 y=f(x)在区间 (a,b)内可导,则该函数在区间 (a,b)内单调增加 (或减少 )
f?(x)≥0(或 f?(x)≤0),x?(a,b),而 f?(x)=0
只在个别点处成立定理,
用方程 f?(x)=0的根及 f?(x)不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间,然后判别各区间内导数的符号,
方法,
f?(x)>0?增 f?(x)<0?减函数的极值及其求法设函数 y=f(x)在点 x0的某邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于 x0的 x值,
都有 f(x)≤ f(x0) (或 f(x)≥ f(x0)),则称函数
f(x)在点 x0处取得 极大值 (或 极小值 )f(x0),
而 x0称为函数 f(x)的 极大点 (或 极小点 ).
极大值和极小值统称为函数的 极值,极大点和极小点统称为函数的 极值点函数极值的定义,
费马定理如果 x0是函数 f(x)的极值点,并且 f(x)
在该点可导,那么 f?(x0)=0
使导数 f?(x)为零的点称为函数 f(x)
的 驻点 或 稳定点注意,
可导函数的极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点定义,
(1)如果 x?(x0,x0),有 f?(x)>0,
而 x?(x0,x0+? ),有 f?(x)<0,
则 f(x)在 x0处取得极大值
(2)如果 x?(x0,x0),有 f?(x)<0,
而 x?(x0,x0+? ),有 f?(x)>0,
则 f(x)在 x0处取得极小值
(3)如果 x?(x0,x0)及 x?(x0,x0+? )时,
f?(x)符号相同,则 f(x)在 x0处无极值判别法则 1 (第一充分条件 )
判别法则 2 (第二充分条件 )
设 f(x)在 x0处具有二阶导数,且
f?(x0)=0,那么
(1)当 f(x0)<0时,则 f(x0)是极大值
(2)当 f(x0)>0时,则 f(x0)是极小值
(3)当 f(x0)=0时,则不能判别 f(x0)是否为极值,改用判别法则 1
求极值的步骤,
(1)求导数 f?(x)
(2)求驻点及不可导点
(3)检查 f?(x)在驻点及不可导点左右的正负性或 f(x)在驻点的符号,判别极值点
(4)求极值最值的求法,
步骤,
1.求驻点和不可导点
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小就是最小值注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值凹凸的判别如果 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,若在 (a,b)内
(1) f(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的
(2) f(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的定理,
若 f(x0)=0或不存在,两侧的 f(x)异号,
则 x0是拐点连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点渐近线
,则直线 y=c是曲线
y=f(x)的一条水平渐近线如果
cxfx )(l i m
1.水平渐近线
,则直线 x=a是曲线
y=f(x)的一条垂直渐近线
2.垂直渐近线如果
)(lim xfax
,则直线
y=ax+b是曲线 y=f(x)的一条斜渐近线
3.斜渐近线如果
0)]()([lim baxxfx
,)(lim x xfa
x
])([lim axxfb x
利用导数绘制函数的图像步骤,1.确定函数的定义域
2.考察函数的奇偶性、周期性
3.求函数的间断点、驻点、不可导点,用这些点划分出若干个子区间
4.列表讨论函数在各个子区间内的增减性、凹凸性,判断极值点和拐点
5.确定曲线的渐近线
6.求曲线上的一些辅助点
7.根据以上讨论完成作图二、典型例题例 1 验证罗尔定理对 y=lnsinx在 [?/6,5?/6]
上的正确性
[证 ] x?(2k?,2k?+?) (k=0,?1,...)
且在 [?/6,5?/6]上连续又 y?=cotx在 (?/6,5?/6)内处处存在且 f(?/6)=f(5?/6) =?ln2
∴ 函数 y=lnsinx在 [?/6,5?/6]上满足罗尔定理的条件由 y?= cotx =0
在 (?/6,5?/6)内显然有解,x=?/2
取?=?/2,则 f?(? )=0
这就验证了命题的正确性例 2 求函数 的单调区间,极值,凹凸区间,拐点,渐近线,作函数的图形解：
12?
x
xxy
x?(,?1)∪ (?1,1)∪ (1,+?)
1
)( 2
x
xxxf =?f(x)
y是奇函数
22
2
)1(
11
x
x
22
22
)1(
)3(
x
xxy?
令 y?=0 3,0,3 x
32
2
)1(
)3(2
x
xx
y
令 y=0?可能拐点的横坐标为 x =0
yxl i m?
=没有水平渐近线
y
x 1
lim?
=,
y
x 1
lim
=+?
x=1为曲线的垂直渐近线
y
x 1
l i m?
=,
y
x 1
lim
=+?
x=?1为曲线的垂直渐近线
x
ya
x
l i m? )
1
(1l i m 2
x
xx
xx
=1
)(l i m axyb x )(lim xyx
1
lim 2
x
x
x
=0
y=x为曲线的斜渐近线以函数的驻点 )3,0,3(x
和可能拐点的横坐标为分点划分定义域列表如下,
x
y?
y
y
)3,( 3? )1,3( (?1,0) 0
+ 0? 0?
+ 0
极大值 拐点
x
y?
y
y
(0,1)
)3,1( 3 ),3(
+
0
极小值
+
+
),3[]3,(单调增加区间,
]3,1()1,1()1,3[单调减少区间,
极大值,3
2
3
3xy
极小值,3
2
3
3xy
),1(]0,1(凹区间,
)1,0[)1,(凸区间,
拐点为,(0,0)
作图,
x
y
o
xy?
1? 1
