§ 3 用导数研究函数的性质
—— 单调性、极值和最大最小值
§ 3.1 函数的单调性设函数 y=f(x)在区间 (a,b)内可导,则该函数在区间 (a,b)内单调增加 (或减少 )
f?(x)≥0(或 f?(x)≤0),x?(a,b),而 f?(x)=0
只在个别点处成立单调性的判别
y
o x
y=f(x)
a b
f?(x)≥0
y
o x
y=f(x)
baf?(x)≤ 0
定理,
例 1 讨论函数 y=ex?x?1的单调性解,
y?=ex?1
x?(,+?)
在 (,0]内,y?≤ 0?函数单调减少在 (0,+?)内,y?>0?函数单调增加使 f?(x)=0的点 只有一个,即 x=0
用方程 f?(x)=0的根及 f?(x)不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间,然后判别各区间内导数的符号,
单调区间求法问题,如上例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个子区间上单调一般,导数为零的点 (即驻点 )和不可导点,可能是单调区间的分界点方法,
f?(x)>0?增 f?(x)<0?减例 2 确定函数 f(x)=2x3?9x2+12x?3的单调区间解,
f?(x)=6x2?18x+12
x?(,+?)
=6(x?1)(x?2)
解方程 f?(x)=0得,x1=1,x2=2
当<x<1时,f?(x)>0?(,1]上单调增加当 1<x<2时,f?(x)<0?[1,2]上单调减少当 2<x<+?时,f?(x)>0?[2,+?)上单调增加
∴ 单调增加区间为 (,1]∪ [2,+?)
单调减少区间为 [1,2]
例 3 确定函数 f(x)= 的单调区间3 2x
解,x?(,+?)
33
2)(
x
xf
当 x=0时,导数不存在当<x<0时,f?(x)<0?(,0]上单调减少当 0<x<+?时,f?(x)>0?[0,+?)上单调增加
∴ 单调减少区间为 (,0]
单调增加区间为 [0,+?)
导数符号的几何意义对于某区间上的函数 y=f(x):
导数为正,曲线上升 ;
导数为零,曲线不升不降 ;
导数为负,曲线下降