§ 3 定积分的拓展 —— 非正常积分无穷区间上的定积分和无界函数的定积分,通称为 反常积分 或 广义积分,
有限区间上的定积分称为 正常积分 或常义积分存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 [a,+?)上的 无穷限广义积分,记作设函数 f(x)在区间 [a,+?)上连续,取
b>a.如果极限一,无穷限的广义积分定义
dxxfbab )(l i m
dxxf
a?
)(
dxxfdxxf b
aba
)(lim)(即,
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散类似的,设函数 f(x)在区间 (,b]上连续,取 a<b.如果极限 存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 (,b]上的无穷限广义积分,记作
dxxfb?
)(
dxxfbaa )(l i m
dxxfdxxf b
aa
b
)(lim)(即,
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散都收敛,
则称两广义积分之和为函数 f(x)在无穷区间 (,+?)上的 广义积分,记作设函数 f(x)在区间 (,+?)上连续,如果广义积分
dxxfa )( dxxf
a?
)(
dxxfdxxfdxxf
a
a
)()()(
和
dxxf
)(
即,
极限存在称广义积分 收敛 ;否则称广义积分 发散
(a是任意实数 )
例 1 求
dx
x?
21
1
解,原式 =
dx
x
dx
x
0 2
0
2 1
1
1
1
dx
xaa
0
21
1lim dx
x
b
b
0 21
1lim
0][ a r c t a nl i m
aa x
b
b x 0][ a r c t a nl i m
aa a r c t a nlim bb a r c t a nlim
2)2(
=?
例 2 求
dxx
x?
2 2
1s i n1
解,原式 =
)1(1s i n2 xdx?
)1(1s inli m 2 xdx
b
b
b
b x?2
]1[ c o sl i m
]2c o s1[ c o sl i m
bb
=1
例 3 证明广义积分 当 p>1时收敛,
当 p≤1 时发散 dxx p?
1
1
[证 ]
dx
x p?
1
1 bp
b p
x
1
1
]1[lim
p=1
dx
x p?
1
1 dx
x?
1
1
b
b x 1|]|[ l nl i m
=+?
p?1
,p<1
pp
b p
b?
1
1
1li m
1 =
+?
,p>1
1
1
p
∴ 当 p>1时广义积分收敛,当 p≤1 时发散
dxxb
b
1
1lim
例 4 证明广义积分 当 p>0时收敛,当 p<0时发散 dxea
px
[证 ]
dxe
a
px dxe
b
a
px
b?
l i m
b
a
px
b p
e ][lim?
)(l i m pepe
papb
b
,p<0=?
,p>0
p
e ap?
即当 p>0时收敛,当 p<0时发散存在,
则称此极限为函数 f(x)在区间 (a,b]上的 广义积分 (也称 瑕积分,x=a称为 瑕点 ),记作二,被积函数有无穷型间断点的广义积分定义 设函数 f (x)在区间 (a,b]上连续,且
)(lim xf
ax
,如果极限 dttfb
xax
)(l i m
dttfdxxf b
xax
b
a
)(lim)(
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散类似的,设函数 f (x)在区间 [a,b)上连续,且
)(lim xf
bx
,如果极限
dttfx
abx
)(lim
存在,则称此极限为函数 f(x)在区间 [a,b)上的 广义积分 (x=b为 瑕点 ),记作
dttfdxxf x
abx
b
a
)(lim)(
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散设函数 f(x)在区间 [a,c)和 (c,b]上连续,且
)(lim xfcx
,如果两个广义积分为函数 f(x)在区间 [a,b]上的 广义积分
(x=c为 瑕点 ),否则就称广义积分 发散
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
dxxfc
a?
)(
和
dxxfb
c?
)(
都收敛,则定义都收敛,则定义
,如果两个广义积分如果函数 f(x)在区间 (a,b)内连续,而
)(lim,)(lim xfxf
bxax
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
(c是 (a,b)内 任意一点 )
dxxfc
a?
)(
和
dxxfb
c?
)(
为函数 f(x)在区间 (a,b)上的广义积分
(x=a,x=b为瑕点 ),否则就称广义积分发散解,
原式 =
例 5 求 (a>0)
dx
xa
a
0 22 1
22
1lim
xaax
dt
ta
x
ax 0 22
1l i m
∴ x=a为被积函数的无穷间断点
x
ax a
t
0][ a r c s i nl i m
)0( a r c s i nl i m
a
x
ax 2
解,原式 =
例 6 求
dxxx? 2
1 ln
1
dttt
xx
2
1 ln
1lim
)( l nln 1lim 2
1
tdt
xx
2
1
|]ln|[ l nli m x
x
t?
|]ln|ln|2ln|[ l nl i m
1
x
x
=?
故原广义积分发散解,原式 =
例 7 求
dx
x
3
0
3
2
)1(
1
dt
t
x
x?
0
3
21
)1(
1lim
dx
x
dx
x
3
1
3
2
1
0
3
2
)1(
1
)1(
1
(x=1是瑕点 )
dt
t
xx?
3
3
21
)1(
1lim
=3 3 23
x
x
t
0
1
3
2
1
]
1
3
2
)1(
[lim
3
1
3
2
1
]
1
3
2
)1(
[lim x
x
t
有限区间上的定积分称为 正常积分 或常义积分存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 [a,+?)上的 无穷限广义积分,记作设函数 f(x)在区间 [a,+?)上连续,取
b>a.如果极限一,无穷限的广义积分定义
dxxfbab )(l i m
dxxf
a?
)(
dxxfdxxf b
aba
)(lim)(即,
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散类似的,设函数 f(x)在区间 (,b]上连续,取 a<b.如果极限 存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间 (,b]上的无穷限广义积分,记作
dxxfb?
)(
dxxfbaa )(l i m
dxxfdxxf b
aa
b
)(lim)(即,
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散都收敛,
则称两广义积分之和为函数 f(x)在无穷区间 (,+?)上的 广义积分,记作设函数 f(x)在区间 (,+?)上连续,如果广义积分
dxxfa )( dxxf
a?
)(
dxxfdxxfdxxf
a
a
)()()(
和
dxxf
)(
即,
极限存在称广义积分 收敛 ;否则称广义积分 发散
(a是任意实数 )
例 1 求
dx
x?
21
1
解,原式 =
dx
x
dx
x
0 2
0
2 1
1
1
1
dx
xaa
0
21
1lim dx
x
b
b
0 21
1lim
0][ a r c t a nl i m
aa x
b
b x 0][ a r c t a nl i m
aa a r c t a nlim bb a r c t a nlim
2)2(
=?
例 2 求
dxx
x?
2 2
1s i n1
解,原式 =
)1(1s i n2 xdx?
)1(1s inli m 2 xdx
b
b
b
b x?2
]1[ c o sl i m
]2c o s1[ c o sl i m
bb
=1
例 3 证明广义积分 当 p>1时收敛,
当 p≤1 时发散 dxx p?
1
1
[证 ]
dx
x p?
1
1 bp
b p
x
1
1
]1[lim
p=1
dx
x p?
1
1 dx
x?
1
1
b
b x 1|]|[ l nl i m
=+?
p?1
,p<1
pp
b p
b?
1
1
1li m
1 =
+?
,p>1
1
1
p
∴ 当 p>1时广义积分收敛,当 p≤1 时发散
dxxb
b
1
1lim
例 4 证明广义积分 当 p>0时收敛,当 p<0时发散 dxea
px
[证 ]
dxe
a
px dxe
b
a
px
b?
l i m
b
a
px
b p
e ][lim?
)(l i m pepe
papb
b
,p<0=?
,p>0
p
e ap?
即当 p>0时收敛,当 p<0时发散存在,
则称此极限为函数 f(x)在区间 (a,b]上的 广义积分 (也称 瑕积分,x=a称为 瑕点 ),记作二,被积函数有无穷型间断点的广义积分定义 设函数 f (x)在区间 (a,b]上连续,且
)(lim xf
ax
,如果极限 dttfb
xax
)(l i m
dttfdxxf b
xax
b
a
)(lim)(
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散类似的,设函数 f (x)在区间 [a,b)上连续,且
)(lim xf
bx
,如果极限
dttfx
abx
)(lim
存在,则称此极限为函数 f(x)在区间 [a,b)上的 广义积分 (x=b为 瑕点 ),记作
dttfdxxf x
abx
b
a
)(lim)(
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散设函数 f(x)在区间 [a,c)和 (c,b]上连续,且
)(lim xfcx
,如果两个广义积分为函数 f(x)在区间 [a,b]上的 广义积分
(x=c为 瑕点 ),否则就称广义积分 发散
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
dxxfc
a?
)(
和
dxxfb
c?
)(
都收敛,则定义都收敛,则定义
,如果两个广义积分如果函数 f(x)在区间 (a,b)内连续,而
)(lim,)(lim xfxf
bxax
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
(c是 (a,b)内 任意一点 )
dxxfc
a?
)(
和
dxxfb
c?
)(
为函数 f(x)在区间 (a,b)上的广义积分
(x=a,x=b为瑕点 ),否则就称广义积分发散解,
原式 =
例 5 求 (a>0)
dx
xa
a
0 22 1
22
1lim
xaax
dt
ta
x
ax 0 22
1l i m
∴ x=a为被积函数的无穷间断点
x
ax a
t
0][ a r c s i nl i m
)0( a r c s i nl i m
a
x
ax 2
解,原式 =
例 6 求
dxxx? 2
1 ln
1
dttt
xx
2
1 ln
1lim
)( l nln 1lim 2
1
tdt
xx
2
1
|]ln|[ l nli m x
x
t?
|]ln|ln|2ln|[ l nl i m
1
x
x
=?
故原广义积分发散解,原式 =
例 7 求
dx
x
3
0
3
2
)1(
1
dt
t
x
x?
0
3
21
)1(
1lim
dx
x
dx
x
3
1
3
2
1
0
3
2
)1(
1
)1(
1
(x=1是瑕点 )
dt
t
xx?
3
3
21
)1(
1lim
=3 3 23
x
x
t
0
1
3
2
1
]
1
3
2
)1(
[lim
3
1
3
2
1
]
1
3
2
)1(
[lim x
x
t
