§ 3 应用广泛的数表 —— 矩阵
§ 3.1 矩阵的概念用消元法求解线性方程组中,对方程组施行初等变换,实质上只与未知数的系数有关,而与未知数无关,
故,可以将未知数略去不写,只将未知数系数按照原来的顺序关系排成一张数表,对这数表施行三种变换即可,
定义,
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
由 m?n个数 aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
排成的数表称为 m行 n列 矩阵,简记为 A=(aij)m?n,aij称为矩阵 A的第 i行第 j列的 元素定义,下述三种变换称为 矩阵的行初等变换,
(1)行列式是一个数,矩阵是一张数表注,
(2)行列式要求行数与列数相等,矩阵的行数与列数可以不相等对应方程组的三种初等变换,有,
(1)对调两行
(2)用非零数乘某一行的每个元素
(3)用数乘某一行的每个元素后加到另一行的对应元素上
§ 3.2 矩阵的运算
1.矩阵的加法定义,设有两个 m行 n列矩阵 A=(aij)m?n和
B=(bij)m?n,那么矩阵 A与 B的和记作 A+B
nmijij
mnmnmmmm
nn
nn
ba
bababa
bababa
bababa
BA
)(
2211
2222222121
1112121111
注,相加的两个矩阵必须行数和列数分别相等元素全为零的矩阵称为 零矩阵,记为
Om?n或简记为 O
矩阵 (?aij)m?n称为矩阵 A=(aij)m?n的 负矩阵,记作?A
可定义 矩阵的减法,A?B=A+(?B)
矩阵的加法满足,
(1) 交换律,A+B=B+A
(2) 结合律,(A+B)+C=A+(B+C)
(3) A+O=A
(4) A+(?A)=O
2.矩阵的数乘定义,数 k与矩阵 A=(aij)m?n的乘积 记作 kA
nmij
mnmm
n
n
ka
kakaka
kakaka
kakaka
kA
)(
21
22221
11211
注,数与矩阵的乘法和数与行列式的乘法是不同的矩阵的数乘满足,
(1) (kl)A=k(lA)
(2) k(A+B)=kA+kB
(3) (k+l)A=kA+lA
3.矩阵的转置定义,把矩阵 A=(aij)m?n的行列互换得到的
n?m矩阵,称为 A的 转置矩阵,记作 AT
mnmnnn
m
m
T
nmmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
21
22221
11211
矩阵的转置满足,
(1) (AT )T=A
(2) (A+B)T=AT+BT
(3) (kA)T=kAT
4.矩阵的乘法定义,设 A= (aik)m?n和 B= (bkj)n?p,其中 A的列数等于 B的行数,那么矩阵 A与 B的乘积
C=AB=(cij)m?p
其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj
(i=1,2,...,m; j=1,2,...,p)
矩阵 A与 B的乘积的第 i行第 j列的元素等于第一个矩阵 A的第 i行与第二个矩阵 B的第 j列的对应元素乘积之和例 1 设
,
121
113
121
430
,
4150
0311
2101
BA
求 AB
解,
10172
6210
765AB
例 2 如果 A=(aij)m?n是一线性方程组的系数矩阵,而
mn
b
b
b
B
x
x
x
X
2
1
2
1
,分别是未知量与常数项所成的 n?1与 m?1矩阵,那么线性方程组可表示成 矩阵方程,AX=B
例 3 设求 AB与 BA
解,AB
000
000
100
,
100
000
000
BA
000
000
000
000
000
100
100
000
000
BA
000
000
100
100
000
000
000
000
100
可见,矩阵乘法 不满足交换律,
即 一般 AB?BA
(1)AB有意义时,BA不一定有意义例如,
87
65
43
21
,
1201
1012
4321
BA
AB有意义,而 BA无意义
(2)即使 AB与 BA都有意义,但它们的行数与列数不一定相同例如,
AB是 3?3矩阵
121
113
121
430
,
4150
0311
2101
BA
,而 BA是 4?4矩阵
(3)AB与 BA都有意义,它们的行数与列数相同,但也不一定相等例如,
000
000
100
,
100
000
000
BA
000
000
000
AB
000
000
100
,BA
矩阵的乘法 不满足消去律,
即 由 AC=BC不能得出 A=B或由 AB=AC
不能得出 B=C
例如,
10
00
,
01
00
,
00
01
CBA
00
00
BCACAB
但 B?C,A?B
两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,
则 由 AB=O不能得出 A=O或 B=O
000
000
000
000
000
100
100
000
000
矩阵的乘法满足,
(1) 结合律,(AB)C=A(BC)
(2) 分配律,A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
(3) k(AB)=(kA)B=A(kB)
(4) (AB)T=BTAT
行数与列数相等的矩阵,称为 方阵主对角线上各元素为 1,其余元素为
0的 n?n方阵 (n阶方阵 )称为 n阶 单位矩阵,
记作 En或 E,即
100
010
001
E
对任意 n阶方阵 A,有 EA=AE=A
n阶方阵 A的元素 aij构成的行列式叫做 矩阵 A的行列式,记作 detA
对于 n阶方阵 A,如果存在 n阶方阵
B,使得 AB=BA=E,则称 A为 可逆矩阵,B
称为 A的 逆矩阵,记作 B=A?1
,即 a?1,可以用等式 aa?1=a?1a=1来刻划
5.矩阵的逆一个非零数 a的倒数
a
1
定义,
方阵 A可逆的充要条件是 detA?0
如果方阵 A可逆,则 A的逆矩阵是唯一的如何求逆矩阵?
利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法,
构成一个 n行 2n列矩阵 [A,E],对矩阵施行行变换,将左半部分化为 n阶单位矩阵 E,这时,右半部分即为矩阵 A的逆矩阵 A?1
即 [A,E] 初等行变换 [E,A?1]
例 4 设
A是否可逆?若可逆,求 A?1
解,
012
411
210
A
detA
012
411
210
=2?0
A可逆对调第一行和第二行构造矩阵 [A,E]
100012
010411
001210
100012
001210
010411
第一行乘 (?2)
加到第三行
120830
001210
010411
第二行乘 3
加到第三行
123200
001210
010411
第三行分别乘 2,1
加到第一、二行
123200
124010
236011
第二行乘 (?1)
加到第一行
123200
124010
112001
第三行乘以
2
1
1
2
3
100
124010
112001)
2
1(?
2
1
1
2
3
124
112
1
A
§ 3.3 矩阵的应用
1.利用矩阵的行初等变换解线性方程组用消元法解线性方程组只是对方程组的系数和常数项进行运算,而未知数并未参与运算由方程组的全部系数构成的矩阵 A称为该方程组的 系数矩阵由方程组的系数和常数项构成的矩阵称为该方程组的 增广矩阵用消元法解方程组就是利用初等变换化线性方程组成为阶梯形方程组的过程,实际上就是用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵的过程
mnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111
mnm
n
aa
aa
1
111
mmnm
n
baa
baa
1
1111
系数矩阵增广矩阵例 5 解线性方程组解,
3742
352
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
增广矩阵 =
3742
3521
1321
第一行乘 (?1)加到第三行第一行乘 (?2)加到第三行
1100
2200
1321
第二行乘以
1100
1100
1321)21(?
第二行加到第三行
0000
1100
1321
故,原方程组与下述方程组同解,
1
132
3
321
x
xxx
把含 x2的项移到方程右边,得,
1
213
3
231
x
xxx
1
22
3
22
21
x
xx
xx
(x2为任意数 )
该方程组有无穷多组解例 6 解线性方程组解,
322
233
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
增广矩阵 =
3122
2133
1211
第一行乘 (?3)加到第二行第一行乘 (?2)加到第三行
1500
1500
1211
第二行乘 (?1)加到第三行
2000
1500
1211
故,原方程组与下述方程组同解,
20
15
12
3
321
x
xxx
可见,该方程组无解,从而原方程组无解
2.利用矩阵方程解线性方程组矩阵方程,AX=B
nn
b
b
b
B
x
x
x
X
2
1
2
1
,,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
若 A可逆,对矩阵方程的两端左乘 A?1
X=A?1B
例 7 解线性方程组解,
353
2522
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
153
522
321
A
将方程写成 AX=B
3
2
1
x
x
x
X
3
2
1
B
detA =15?0?A可逆
100153
010522
001321[A,E]
103810
012120
001321
012120
103810
001321
2141500
103810
001321
15
2
15
1
15
4
100
103810
001321
15
2
15
1
15
4
100
15
1
15
8
15
13
010
15
6
15
3
15
3
021
15
2
15
1
15
4
100
15
1
15
8
15
13
010
15
4
15
13
15
23
001
15
2
15
1
15
4
15
1
15
8
15
13
15
4
15
13
15
23
1
A
X=A?1B
3
2
1
15
2
15
1
15
4
15
1
15
8
15
13
15
4
15
13
15
23
0
0
1
x1=1,x2=0,x3=0
§ 3.1 矩阵的概念用消元法求解线性方程组中,对方程组施行初等变换,实质上只与未知数的系数有关,而与未知数无关,
故,可以将未知数略去不写,只将未知数系数按照原来的顺序关系排成一张数表,对这数表施行三种变换即可,
定义,
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
由 m?n个数 aij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
排成的数表称为 m行 n列 矩阵,简记为 A=(aij)m?n,aij称为矩阵 A的第 i行第 j列的 元素定义,下述三种变换称为 矩阵的行初等变换,
(1)行列式是一个数,矩阵是一张数表注,
(2)行列式要求行数与列数相等,矩阵的行数与列数可以不相等对应方程组的三种初等变换,有,
(1)对调两行
(2)用非零数乘某一行的每个元素
(3)用数乘某一行的每个元素后加到另一行的对应元素上
§ 3.2 矩阵的运算
1.矩阵的加法定义,设有两个 m行 n列矩阵 A=(aij)m?n和
B=(bij)m?n,那么矩阵 A与 B的和记作 A+B
nmijij
mnmnmmmm
nn
nn
ba
bababa
bababa
bababa
BA
)(
2211
2222222121
1112121111
注,相加的两个矩阵必须行数和列数分别相等元素全为零的矩阵称为 零矩阵,记为
Om?n或简记为 O
矩阵 (?aij)m?n称为矩阵 A=(aij)m?n的 负矩阵,记作?A
可定义 矩阵的减法,A?B=A+(?B)
矩阵的加法满足,
(1) 交换律,A+B=B+A
(2) 结合律,(A+B)+C=A+(B+C)
(3) A+O=A
(4) A+(?A)=O
2.矩阵的数乘定义,数 k与矩阵 A=(aij)m?n的乘积 记作 kA
nmij
mnmm
n
n
ka
kakaka
kakaka
kakaka
kA
)(
21
22221
11211
注,数与矩阵的乘法和数与行列式的乘法是不同的矩阵的数乘满足,
(1) (kl)A=k(lA)
(2) k(A+B)=kA+kB
(3) (k+l)A=kA+lA
3.矩阵的转置定义,把矩阵 A=(aij)m?n的行列互换得到的
n?m矩阵,称为 A的 转置矩阵,记作 AT
mnmnnn
m
m
T
nmmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
21
22212
12111
21
22221
11211
矩阵的转置满足,
(1) (AT )T=A
(2) (A+B)T=AT+BT
(3) (kA)T=kAT
4.矩阵的乘法定义,设 A= (aik)m?n和 B= (bkj)n?p,其中 A的列数等于 B的行数,那么矩阵 A与 B的乘积
C=AB=(cij)m?p
其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+...+ainbnj
(i=1,2,...,m; j=1,2,...,p)
矩阵 A与 B的乘积的第 i行第 j列的元素等于第一个矩阵 A的第 i行与第二个矩阵 B的第 j列的对应元素乘积之和例 1 设
,
121
113
121
430
,
4150
0311
2101
BA
求 AB
解,
10172
6210
765AB
例 2 如果 A=(aij)m?n是一线性方程组的系数矩阵,而
mn
b
b
b
B
x
x
x
X
2
1
2
1
,分别是未知量与常数项所成的 n?1与 m?1矩阵,那么线性方程组可表示成 矩阵方程,AX=B
例 3 设求 AB与 BA
解,AB
000
000
100
,
100
000
000
BA
000
000
000
000
000
100
100
000
000
BA
000
000
100
100
000
000
000
000
100
可见,矩阵乘法 不满足交换律,
即 一般 AB?BA
(1)AB有意义时,BA不一定有意义例如,
87
65
43
21
,
1201
1012
4321
BA
AB有意义,而 BA无意义
(2)即使 AB与 BA都有意义,但它们的行数与列数不一定相同例如,
AB是 3?3矩阵
121
113
121
430
,
4150
0311
2101
BA
,而 BA是 4?4矩阵
(3)AB与 BA都有意义,它们的行数与列数相同,但也不一定相等例如,
000
000
100
,
100
000
000
BA
000
000
000
AB
000
000
100
,BA
矩阵的乘法 不满足消去律,
即 由 AC=BC不能得出 A=B或由 AB=AC
不能得出 B=C
例如,
10
00
,
01
00
,
00
01
CBA
00
00
BCACAB
但 B?C,A?B
两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,
则 由 AB=O不能得出 A=O或 B=O
000
000
000
000
000
100
100
000
000
矩阵的乘法满足,
(1) 结合律,(AB)C=A(BC)
(2) 分配律,A(B+C)=AB+AC
(B+C)A=BA+CA
(3) k(AB)=(kA)B=A(kB)
(4) (AB)T=BTAT
行数与列数相等的矩阵,称为 方阵主对角线上各元素为 1,其余元素为
0的 n?n方阵 (n阶方阵 )称为 n阶 单位矩阵,
记作 En或 E,即
100
010
001
E
对任意 n阶方阵 A,有 EA=AE=A
n阶方阵 A的元素 aij构成的行列式叫做 矩阵 A的行列式,记作 detA
对于 n阶方阵 A,如果存在 n阶方阵
B,使得 AB=BA=E,则称 A为 可逆矩阵,B
称为 A的 逆矩阵,记作 B=A?1
,即 a?1,可以用等式 aa?1=a?1a=1来刻划
5.矩阵的逆一个非零数 a的倒数
a
1
定义,
方阵 A可逆的充要条件是 detA?0
如果方阵 A可逆,则 A的逆矩阵是唯一的如何求逆矩阵?
利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法,
构成一个 n行 2n列矩阵 [A,E],对矩阵施行行变换,将左半部分化为 n阶单位矩阵 E,这时,右半部分即为矩阵 A的逆矩阵 A?1
即 [A,E] 初等行变换 [E,A?1]
例 4 设
A是否可逆?若可逆,求 A?1
解,
012
411
210
A
detA
012
411
210
=2?0
A可逆对调第一行和第二行构造矩阵 [A,E]
100012
010411
001210
100012
001210
010411
第一行乘 (?2)
加到第三行
120830
001210
010411
第二行乘 3
加到第三行
123200
001210
010411
第三行分别乘 2,1
加到第一、二行
123200
124010
236011
第二行乘 (?1)
加到第一行
123200
124010
112001
第三行乘以
2
1
1
2
3
100
124010
112001)
2
1(?
2
1
1
2
3
124
112
1
A
§ 3.3 矩阵的应用
1.利用矩阵的行初等变换解线性方程组用消元法解线性方程组只是对方程组的系数和常数项进行运算,而未知数并未参与运算由方程组的全部系数构成的矩阵 A称为该方程组的 系数矩阵由方程组的系数和常数项构成的矩阵称为该方程组的 增广矩阵用消元法解方程组就是利用初等变换化线性方程组成为阶梯形方程组的过程,实际上就是用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵的过程
mnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111
mnm
n
aa
aa
1
111
mmnm
n
baa
baa
1
1111
系数矩阵增广矩阵例 5 解线性方程组解,
3742
352
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
增广矩阵 =
3742
3521
1321
第一行乘 (?1)加到第三行第一行乘 (?2)加到第三行
1100
2200
1321
第二行乘以
1100
1100
1321)21(?
第二行加到第三行
0000
1100
1321
故,原方程组与下述方程组同解,
1
132
3
321
x
xxx
把含 x2的项移到方程右边,得,
1
213
3
231
x
xxx
1
22
3
22
21
x
xx
xx
(x2为任意数 )
该方程组有无穷多组解例 6 解线性方程组解,
322
233
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
增广矩阵 =
3122
2133
1211
第一行乘 (?3)加到第二行第一行乘 (?2)加到第三行
1500
1500
1211
第二行乘 (?1)加到第三行
2000
1500
1211
故,原方程组与下述方程组同解,
20
15
12
3
321
x
xxx
可见,该方程组无解,从而原方程组无解
2.利用矩阵方程解线性方程组矩阵方程,AX=B
nn
b
b
b
B
x
x
x
X
2
1
2
1
,,
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
若 A可逆,对矩阵方程的两端左乘 A?1
X=A?1B
例 7 解线性方程组解,
353
2522
132
321
321
321
xxx
xxx
xxx
153
522
321
A
将方程写成 AX=B
3
2
1
x
x
x
X
3
2
1
B
detA =15?0?A可逆
100153
010522
001321[A,E]
103810
012120
001321
012120
103810
001321
2141500
103810
001321
15
2
15
1
15
4
100
103810
001321
15
2
15
1
15
4
100
15
1
15
8
15
13
010
15
6
15
3
15
3
021
15
2
15
1
15
4
100
15
1
15
8
15
13
010
15
4
15
13
15
23
001
15
2
15
1
15
4
15
1
15
8
15
13
15
4
15
13
15
23
1
A
X=A?1B
3
2
1
15
2
15
1
15
4
15
1
15
8
15
13
15
4
15
13
15
23
0
0
1
x1=1,x2=0,x3=0
