第五章 微分的逆运算问题
—— 不定积分
§ 1 逆向思维又一例
—— 原函数与不定积分
§ 1.1 原函数与不定积分的概念原函数的概念定义,设函数 F(x)与 f(x)在区间 I上有定义,若在 I上 F?(x)=f(x),则称函数 F(x)为
f(x)在区间 I上的一个 原函数例如,
(sinx)?=cosx?sinx是 cosx的原函数
)0( 1)( l n xxx
lnx是
x
1 在区间 (0,+?)内的原函数原函数存在定理,
若函数 f(x)在区间 I上连续,则 f(x)在
I上存在原函数 F(x)
问题,(1)原函数是否唯一?
例如,
(sinx)?=cosx
(sinx+C)?=cosx (C为任意常数 )
(2)若不唯一,它们之间有什么联系?
设 F(x)是 f(x)的区间 I上的一个原函数,则,(1)F(x)+C也是 f(x)的一个原函数,其中 C为任意常数
(2)f(x)的任意两个原函数之间,
相差一个常数定理,
[证 (2)] [F(x)?G(x)]?=F?(x)?G?(x)
=f(x)?f(x)=0
F(x)?G(x)=C (C为任意常数 )
这一定理揭示了全体原函数的结构
CxFdxxf )()(
不定积分的定义
f(x)在区间 I上的全体原函数为 f(x)
在 I上的 不定积分,记作? dxxf )(
积分号被积函数被积表达式积分变量积分常数
)(])([])([ xfCxFdxxf有,
例 1 求?
dxx 5
解,
56 )
6( x
x
Cxdxx 6
65
不定积分的几何意义函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线显然,求不定积分得到一积分曲线族,
它可由 f(x)的某一条积分曲线 y=F(x)沿 y轴方向上下平移而得到
o x
y
曲线中每一条积分曲线横坐标相同点处的切线相互平行例 3 设曲线通过点 (1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,
求此曲线方程解,设所求曲线为 y=f(x)
由题意知,y?=2x
即 f(x)是 2x的一个原函数
x d x2 =x
2+C?f(x)=x2+C
曲线通过点 (1,2)?C=1
所求曲线为 y=x2+1