§ 2 习题课一、主要内容二、例题
（一）初等函数
（二） MM数学模型
（三）连续函数一、主要内容设 x和 y是两个变量,X是一个给定的数集,如果对于每个数 x?X,变量 y
按照某个对应法则 f,都有唯一确定的值和它对应,则称 y是 x的函数,记作 y=f(x)
函数的定义
x的取值范围 X叫做函数的定义域,
x称为自变量,y称为因变量,函数值的集合 Y叫做函数的值域函数的性质
1.函数的奇偶性设定义域 D关于原点对称,若?x?D,有
f(?x)=f(x),称函数 f(x)为偶函数
f(?x)=?f(x),称函数 f(x)为奇函数偶函数
x
y
o
xy?
奇函数
y
xo
3xy?
2.函数的单调性设定义域为 X,区间 I?X,如果对于区间 I
上任意两点 x1及 x2,当 x1<x2时,有
(1) f(x1)<f(x2),则称函数 f(x)在区间 I上单调增加
(2) f(x1)>f(x2),则称函数 f(x)在区间 I上单调减少
x
y
o
2xy?
当 x≤ 0时为减函数当 x≥ 0时为增函数
3.函数的有界性设定义域为 X,区间 I?X,M为非负实数,
若?x?I,有 |f(x)|≤ M,则称 f(x)在 I内有界,
否则无界
x
y
o
xy
1?
11?
在 (,0)及 (0,+?)上无界在 (,?1]及 [1,+?)上有界
4.函数的周期性设定义域为 X,如果存在一个不为零的数
l,使得?x?X,有 (x?l)?X,且 f(x?l)=f(x),则称函数 f(x)为周期函数,l 称为 f(x)的周期
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期 ) xy sin?
T=2?
反函数由 y=f(x)确定的 y=f?1(x)称为反函数
y=sinx?y=f?1(x)=arcsinx
直接函数 y=f(x)
反函数 y=f?1(x)
y=x
x
y
o
P(a,b)
Q(b,a)
基本初等函数
(1)常数函数 y=C (C为常数 )
(2)幂函数 y=x? (?为实数 )
(3)指数函数 y=ax (a>0,且 a?1)
(4)对数函数 y=logax (a>0且 a?1)
(5)三角函数 y=sinx ; y=cosx ;
y=tanx ; y=cotx
(6)反三角函数 y=arcsinx ; y=arccosx ;
y=arctanx ; y=arccotx
复合函数设函数 y=f(u)的定义域 U,函数 u=?(x)的值域为 V,若 U∩ V,则称函数 y=f[?(x)]
为 x的复合函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合运算而得到的 由一个式子表示 的函数叫做初等函数
,则称函数 f(x)在点 x0处连续,x0称为函数 f(x)的连续点连续的定义定义 1 设函数 f(x)在点 x0及其邻域有定义,
当 x?x0时 f(x)的极限存在,且等于该点处的函数值 f(x0),即
)()(lim 0
0
xfxfxx
,则称函数 f(x)在点 x0处连续定义 2 设函数 f(x)在点 x0及其邻域有定义,
当?x=x?x0?0时,?y=f(x)?f(x0)?0,即
0l i m0 yx
间断点的定义函数 f(x)在点 x0处连续应同时满足三个条件：
(1) f(x)在点 x0处有定义
(2)
)(lim
0
xfxx?
存在
(3)
)()(lim 0
0
xfxfxx
如果这三个条件至少有一个不满足,
则称函数 f(x)在点 x0间断,x0称为函数的间断点间断点的类型第一类间断点跳跃间断点,
)(l i m)(l i m
00
xfxf
xxxx
可去间断点,
)()(lim 0
0
xfAxfxx
或 f(x)在点 x0处无定义函数在点 x0处的左、右极限都存在
o
y
x
跳跃型
0x
可去型
o
y
x0x
第二类间断点 f(x)在点 x0处的左、右极限至少有一个不存在
o
y
x
无穷型 振荡型
o
y
x0x
连续函数的四则运算
(g(x0)?0) 在点 x0处也连续若函数 f(x),g(x)在点 x0处连续,则
f(x)?g(x),f(x)?g(x),
)(
)(
xg
xf
初等函数的连续性
1.单调连续函数的反函数仍是单调连续函数
2.连续函数的复合函数仍是连续函数
3.所有基本初等函数在其有定义的区间内连续
4.初等函数在其有定义的区间内连续闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界介值定理 若函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续,且 f(a)?f(b),?为介于 f(a)与 f(b)之间的任意一个数,即 f(a)<?<f(b)或 f(a)>?>f(b),
则至少存在一个内点(a,b),使得 f(?)=?
根的存在定理 若函数 f(x)在闭区间 [a,b]
上连续,且 f(a)与 f(b)异号,则至少存在一个内点(a,b),使得 f(?)=0
二、典型例题例 1 求函数 y=logx?1(16?x2)的定义域解,16?x2>0
x?1>0
x?1?1
|x|<4
x>1
x?2
1<x<2及 2<x<4
即所求定义域为 (1,2)∪ (2,4)
例 2 讨论 的连续性解：
1,
2
c o s
1,1
)(
xx
xx
xf?
将 f(x)改写成
1,1
11,
2
c o s
1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
显然 f(x)在 (,?1),(?1,1),(1,+?)内连续当 x=?1时,
)(l i m
1
xf
x
)1(l i m
1
x
x
=2
)(l i m
1
xf
x 2
c o sl i m
1
x
x
=0
)(l i m)(l i m
1 1
xfxf
xx
∴ f(x)在 x=?1间断当 x=1时,
)(lim
1
xf
x
)1(lim
1
x
x
)(l i m
1
xf
x
2c o sl i m1
x
x
=0
=0
)(lim)(lim
11
xfxf
xx
∴ f(x)在 x=1连续
∴ f(x)在 (,?1)∪ (?1,+?)内连续例 3 设 f(x)在闭区间 [0,1]上连续,且 f(0)=f(1),
证明必有一点[0,1]使得
)()21( ff
[证 ]令 F(x)=
)()21( xfxf
则 F(x)在
]21,0[
上连续讨论,若 F(0)=0 )0()
2
10( ff
=0
若
)21()2121( ff0)21(?F 21
若
0)21(,0)0( FF
)21()0( FF
2)]0()
2
1([ ff <0
)]21()1()][0()21([ ffff
由根的存在定理知,
)21,0(
,使 F(?)=0
)()21( ff
即 成立综上,必有一点
]1,0[]21,0[
)()21( ff
使 成立
（一）初等函数
（二） MM数学模型
（三）连续函数一、主要内容设 x和 y是两个变量,X是一个给定的数集,如果对于每个数 x?X,变量 y
按照某个对应法则 f,都有唯一确定的值和它对应,则称 y是 x的函数,记作 y=f(x)
函数的定义
x的取值范围 X叫做函数的定义域,
x称为自变量,y称为因变量,函数值的集合 Y叫做函数的值域函数的性质
1.函数的奇偶性设定义域 D关于原点对称,若?x?D,有
f(?x)=f(x),称函数 f(x)为偶函数
f(?x)=?f(x),称函数 f(x)为奇函数偶函数
x
y
o
xy?
奇函数
y
xo
3xy?
2.函数的单调性设定义域为 X,区间 I?X,如果对于区间 I
上任意两点 x1及 x2,当 x1<x2时,有
(1) f(x1)<f(x2),则称函数 f(x)在区间 I上单调增加
(2) f(x1)>f(x2),则称函数 f(x)在区间 I上单调减少
x
y
o
2xy?
当 x≤ 0时为减函数当 x≥ 0时为增函数
3.函数的有界性设定义域为 X,区间 I?X,M为非负实数,
若?x?I,有 |f(x)|≤ M,则称 f(x)在 I内有界,
否则无界
x
y
o
xy
1?
11?
在 (,0)及 (0,+?)上无界在 (,?1]及 [1,+?)上有界
4.函数的周期性设定义域为 X,如果存在一个不为零的数
l,使得?x?X,有 (x?l)?X,且 f(x?l)=f(x),则称函数 f(x)为周期函数,l 称为 f(x)的周期
(通常说周期函数的周期是指其最小正周期 ) xy sin?
T=2?
反函数由 y=f(x)确定的 y=f?1(x)称为反函数
y=sinx?y=f?1(x)=arcsinx
直接函数 y=f(x)
反函数 y=f?1(x)
y=x
x
y
o
P(a,b)
Q(b,a)
基本初等函数
(1)常数函数 y=C (C为常数 )
(2)幂函数 y=x? (?为实数 )
(3)指数函数 y=ax (a>0,且 a?1)
(4)对数函数 y=logax (a>0且 a?1)
(5)三角函数 y=sinx ; y=cosx ;
y=tanx ; y=cotx
(6)反三角函数 y=arcsinx ; y=arccosx ;
y=arctanx ; y=arccotx
复合函数设函数 y=f(u)的定义域 U,函数 u=?(x)的值域为 V,若 U∩ V,则称函数 y=f[?(x)]
为 x的复合函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合运算而得到的 由一个式子表示 的函数叫做初等函数
,则称函数 f(x)在点 x0处连续,x0称为函数 f(x)的连续点连续的定义定义 1 设函数 f(x)在点 x0及其邻域有定义,
当 x?x0时 f(x)的极限存在,且等于该点处的函数值 f(x0),即
)()(lim 0
0
xfxfxx
,则称函数 f(x)在点 x0处连续定义 2 设函数 f(x)在点 x0及其邻域有定义,
当?x=x?x0?0时,?y=f(x)?f(x0)?0,即
0l i m0 yx
间断点的定义函数 f(x)在点 x0处连续应同时满足三个条件：
(1) f(x)在点 x0处有定义
(2)
)(lim
0
xfxx?
存在
(3)
)()(lim 0
0
xfxfxx
如果这三个条件至少有一个不满足,
则称函数 f(x)在点 x0间断,x0称为函数的间断点间断点的类型第一类间断点跳跃间断点,
)(l i m)(l i m
00
xfxf
xxxx
可去间断点,
)()(lim 0
0
xfAxfxx
或 f(x)在点 x0处无定义函数在点 x0处的左、右极限都存在
o
y
x
跳跃型
0x
可去型
o
y
x0x
第二类间断点 f(x)在点 x0处的左、右极限至少有一个不存在
o
y
x
无穷型 振荡型
o
y
x0x
连续函数的四则运算
(g(x0)?0) 在点 x0处也连续若函数 f(x),g(x)在点 x0处连续,则
f(x)?g(x),f(x)?g(x),
)(
)(
xg
xf
初等函数的连续性
1.单调连续函数的反函数仍是单调连续函数
2.连续函数的复合函数仍是连续函数
3.所有基本初等函数在其有定义的区间内连续
4.初等函数在其有定义的区间内连续闭区间上连续函数的性质最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值有界性定理 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界介值定理 若函数 f(x)在闭区间 [a,b]上连续,且 f(a)?f(b),?为介于 f(a)与 f(b)之间的任意一个数,即 f(a)<?<f(b)或 f(a)>?>f(b),
则至少存在一个内点(a,b),使得 f(?)=?
根的存在定理 若函数 f(x)在闭区间 [a,b]
上连续,且 f(a)与 f(b)异号,则至少存在一个内点(a,b),使得 f(?)=0
二、典型例题例 1 求函数 y=logx?1(16?x2)的定义域解,16?x2>0
x?1>0
x?1?1
|x|<4
x>1
x?2
1<x<2及 2<x<4
即所求定义域为 (1,2)∪ (2,4)
例 2 讨论 的连续性解：
1,
2
c o s
1,1
)(
xx
xx
xf?
将 f(x)改写成
1,1
11,
2
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1,1
)(
xx
x
x
xx
xf
显然 f(x)在 (,?1),(?1,1),(1,+?)内连续当 x=?1时,
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1
xf
x
)1(l i m
1
x
x
=2
)(l i m
1
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c o sl i m
1
x
x
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)(l i m)(l i m
1 1
xfxf
xx
∴ f(x)在 x=?1间断当 x=1时,
)(lim
1
xf
x
)1(lim
1
x
x
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x
2c o sl i m1
x
x
=0
=0
)(lim)(lim
11
xfxf
xx
∴ f(x)在 x=1连续
∴ f(x)在 (,?1)∪ (?1,+?)内连续例 3 设 f(x)在闭区间 [0,1]上连续,且 f(0)=f(1),
证明必有一点[0,1]使得
)()21( ff
[证 ]令 F(x)=
)()21( xfxf
则 F(x)在
]21,0[
上连续讨论,若 F(0)=0 )0()
2
10( ff
=0
若
)21()2121( ff0)21(?F 21
若
0)21(,0)0( FF
)21()0( FF
2)]0()
2
1([ ff <0
)]21()1()][0()21([ ffff
由根的存在定理知,
)21,0(
,使 F(?)=0
)()21( ff
即 成立综上,必有一点
]1,0[]21,0[
)()21( ff
使 成立
