§ 2 MM能力培养
—— 构建函数模型的步骤和方法一、构建函数模型的步骤和方法二、函数模型举例函数关系是一种变量相依关系的数学模型,数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法,也是处理各类实际问题的一般方法,我们对数学模型方法作一简述数学模型方法 (Mathematical Model
-ling Method)称为 MM方法,它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使问题得以解决的一种数学方法例如 哥尼斯堡有条普雷格尔河,这条河有两个支流,在城中心汇合成大河,河中间有一小岛,
河上有七座桥,如图所示,
18世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥,
再回到出发点,可是试来试去总是办不到,于是有人写信给当时著名的数学家欧拉,欧拉于 1736
年,建立了一个数学模型解决了这个问题,他把
A,B,C,D这四块陆地抽象为数学中的点，
把七座桥抽象为七条线，如下图所示：
小岛 A
陆地 D
陆地 C
半岛 B
小岛 A
陆地 D
陆地 C
半岛 B
C
A
B
D
步行七桥问题,就相当于上图的一笔画问题,即七桥问题的数学模型,能否将上图所示的图形不重复地一笔画出来,即问题的实质,答案是不重复走过七座桥回到出发点是不可能的
2.1 构建函数模型的步骤和方法现实对象的信息数学模型的解答数学模型现实对象表述
(归纳 )
(演绎 ) 求解解释
(实际解答 )
验证 (检验 )
根据建立数学模型的目的和掌握的信息,将实际问题翻译成数学问题,用数学语言确切地表述出来选择适当的方法,
求得数学模型的解答数学解答翻译回现实对象,给实际问题的解答验证解答的正确性函数模型的步骤,
(1) 分析问题中哪些是变量,哪些是常量,
分别用字母表示
(2) 根据所给条件,运用数学或物理等知识,确定等量关系
(3) 具体写出解析式 y=f(x),并指明定义域例 1 重力为 P的物体置于地平面上,设有一与水平方向成?角的拉力 F,使物体由静止开始移动,求物体开始移动时拉力 F
与角?之间的函数模型 (如下图 )
F
P
2.2 函数模型举例解,由物理知识知,当水平拉力与摩擦力平衡时,物体开始移动摩擦力是与正压力 P?Fsin?成正比的
(设摩擦系数为?)
故有,
Fcos?=?(P?Fsin?)
s i nc o s
PF
(0?<? <90?)
F
P
例 2 在金融业务中有一种利息叫做单利,
设 p0是本金,r是记息期的利率,n是记息期数,I是 n个记息期应付的单利,p是本利和,
求本利和 p与记息期 n的函数模型解,一个记息期的利息为 p0r
n个记息期应付的单利为 I=p0rn
本利和为 p=p0+I=p0+p0rn
于是得本利和与记息期的函数关系,即单利模型,p=p0(1+rn)
—— 构建函数模型的步骤和方法一、构建函数模型的步骤和方法二、函数模型举例函数关系是一种变量相依关系的数学模型,数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法,也是处理各类实际问题的一般方法,我们对数学模型方法作一简述数学模型方法 (Mathematical Model
-ling Method)称为 MM方法,它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使问题得以解决的一种数学方法例如 哥尼斯堡有条普雷格尔河,这条河有两个支流,在城中心汇合成大河,河中间有一小岛,
河上有七座桥,如图所示,
18世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥,
再回到出发点,可是试来试去总是办不到,于是有人写信给当时著名的数学家欧拉,欧拉于 1736
年,建立了一个数学模型解决了这个问题,他把
A,B,C,D这四块陆地抽象为数学中的点，
把七座桥抽象为七条线，如下图所示：
小岛 A
陆地 D
陆地 C
半岛 B
小岛 A
陆地 D
陆地 C
半岛 B
C
A
B
D
步行七桥问题,就相当于上图的一笔画问题,即七桥问题的数学模型,能否将上图所示的图形不重复地一笔画出来,即问题的实质,答案是不重复走过七座桥回到出发点是不可能的
2.1 构建函数模型的步骤和方法现实对象的信息数学模型的解答数学模型现实对象表述
(归纳 )
(演绎 ) 求解解释
(实际解答 )
验证 (检验 )
根据建立数学模型的目的和掌握的信息,将实际问题翻译成数学问题,用数学语言确切地表述出来选择适当的方法,
求得数学模型的解答数学解答翻译回现实对象,给实际问题的解答验证解答的正确性函数模型的步骤,
(1) 分析问题中哪些是变量,哪些是常量,
分别用字母表示
(2) 根据所给条件,运用数学或物理等知识,确定等量关系
(3) 具体写出解析式 y=f(x),并指明定义域例 1 重力为 P的物体置于地平面上,设有一与水平方向成?角的拉力 F,使物体由静止开始移动,求物体开始移动时拉力 F
与角?之间的函数模型 (如下图 )
F
P
2.2 函数模型举例解,由物理知识知,当水平拉力与摩擦力平衡时,物体开始移动摩擦力是与正压力 P?Fsin?成正比的
(设摩擦系数为?)
故有,
Fcos?=?(P?Fsin?)
s i nc o s
PF
(0?<? <90?)
F
P
例 2 在金融业务中有一种利息叫做单利,
设 p0是本金,r是记息期的利率,n是记息期数,I是 n个记息期应付的单利,p是本利和,
求本利和 p与记息期 n的函数模型解,一个记息期的利息为 p0r
n个记息期应付的单利为 I=p0rn
本利和为 p=p0+I=p0+p0rn
于是得本利和与记息期的函数关系,即单利模型,p=p0(1+rn)
