§ 3.2 初等函数的连续性一、连续函数的四则运算二、反函数和复合函数的连续性三、初等函数的连续性
(g(x0)?0) 在点 x0处也连续一,连续函数的四则运算若函数 f(x),g(x)在点 x0处连续,则
f(x)?g(x),f(x)?g(x),
)(
)(
xg
xf
例如,sinx,cosx在 (,+?)内连续故 tanx,cotx,secx,cscx在其定义域内连续二、反函数和复合函数的连续性定理 1 单调连续函数的反函数仍是单调连续函数例如,y=sinx在 [/2,?/2]上单调增加且连续故 y=arcsinx在 [?1,1]上也单调增加且连续同理 y=arccosx在 [?1,1]上单调减少且连续
y=arctanx,y=arccotx在 (,+?)上单调且连续定理 2 连续函数的复合函数仍是连续函数例如,
xu
1? 在 (,0)∪ (0,+?)内连续
y=sinu在 (,+?)内连续
xy
1s i n
在 (,0)∪ (0,+?)内连续三、初等函数的连续性常数函数、三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,
指数函数 y=ax (a>0,a?1)在 (,+?)
内单调且连续对数函数 y=logax (a>0,a?1)在 (0,+?)
内单调且连续幂函数 y=x? xaa l o g
而 y=au,u=?logax在 (0,+?)内连续讨论?不同值,幂函数均在其定义域内连续可知,所有基本初等函数在其有定义的区间内连续进一步,初等函数在其有定义的区间内连续是初等函数,在点
x0=1处有定义例 1 求
1s i nl i m1 xx e
解：
原式 = 1s i n 1?e 1s i n e
1s i n xey?
故在 x0=1处连续由连续函数求极限的法则,有思考题设


0 ),l n (
0,1
0,
)(
2
2
xxxb
x
xxa
xf
已知 f(x)在 x=0处连续,试确定 a和 b的值答案,(a=1,b=e)