§ 5 习题课
1.原函数
2.不定积分
3.换元积分法
4.分部积分法
5.基本积分公式原函数的概念设函数 F(x)与 f(x)在区间 I上有定义,
若在 I上 F?(x)=f(x),则称函数 F(x)为 f(x)
在区间 I上的一个 原函数原函数存在定理,
若函数 f(x)在区间 I上连续,则 f(x)在
I上存在原函数 F(x)
即,连续函数一定有原函数不定积分的定义
CxFdxxf )()(
f(x)在区间 I上的全体原函数为 f(x)
在 I上的 不定积分,记作? dxxf )(
函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线
)(])([])([ xfCxFdxxf
微分运算与求不定积分的运算是互逆的,
不定积分的性质
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([)1(
dxxfkdxxkf )()()2(
(k是常数,k?0)
换元积分法设 f(u)具有原函数,u=? (x)可导,则有
duufdxxxf )()()]([
第一类积分换元法,
设 f(x),? (t)及(t)均连续,且(t)?0,
又 f [?(t)](t)存在原函数 F(t),则
CtFdtttfdxxf )()()]([)(
第二类积分换元法,
=F[1(x)]+C
分部积分法
dxvuuvdxvu
duvuvdvu
基本积分公式,
Ckxk d x)1(
Cxdxx
1)2(
1

(1)
Cxdxx ||ln1)3(
( x? 0)
(k是常数 )
Cxdx
x


a rct a n
1
1)4(
2
Cxdx
x


a r c s i n
1
1)5(
2
Cxx d x s inc o s)6(
Cxx d x c o ss in)7(
Cxdx
x
x d x t a n
co s
1s e c)8(
2
2
Cxdx
x
x d x co t
s i n
1cs c)9(
2
2
Cxxdxx s e ct a ns e c)10(
Cxxdxx c s cc o tc s c)11(
Cedxe xx)12(
Caadxa
xx
ln)13(
(a >0,a? 1)
Cxdxx |c o s|lnt a n)14(
Cxdxx |s in|lnc o t)15(
Cxxdxx |t a ns e c|lns e c)16(
Cxxdxx |c o tc s c|lnc s c)17(
Caxadx
xa


a rct a n11)18( 22
Cax axadx
ax


ln2 11)19( 22
Cxa xaadx
xa


ln2 11)20( 22
Caxdx
xa


a r c s i n1)21(
22
Caxxdx
ax


22
22
ln1)22(