第八章 处理线性关系的数学问题
—— 线性代数概述
§ 1 一种特殊数 —— 行列式
§ 1.1 行列式的定义
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
采用消元法
2122221212112
2212221212211
baxaaxaa
abxaaxaa
21122211
212221
1 aaaa
baabx
同理?
21122211
211211
2 aaaa
abbax
若 a11a22?a12a21?0
求解二元线性方程组为了便于讨论,引进符号
2221
1211
aa
aa
来表示数 a11a22?a12a21,即
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
我们称之为 二阶行列式,其中横写的叫 行,
竖写的叫 列,aij (i,j=1,2)称为它的 元素则方程组
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa 的解
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ab
ab
x?
2221
1211
221
111
2
aa
aa
ba
ba
x?
,
21122211
212221
1 aaaa
baabx
21122211
211211
2 aaaa
abbax
可写成,
公式解在这个公式解中,有一定的规律可循,
(1)分母是由原方程组未知数系数按原顺序排成的一个行列式,记作 D
(2)x1的分子行列式是将分母行列式的第一列换成常数项而得 ;x2的分子行列式是将分母行列式的第二列换成常数项所得,分别记作
D1,D2
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ab
ab
x?
2221
1211
221
111
2
aa
aa
ba
ba
x?
D
D 1?
D
D 2?
(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31) x1
=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32
b1a23a32?a12b2a33?a13a22b3
求解三元线性方程组
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
采用消元法,消去 x2与 x3?
由二阶行列式的定义,x1的系数可表示成,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa 3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
把它记为,称为 三阶行列式上式的规律,把第一行每一元素乘以划去该元素所在的行、列之后剩下的二阶行列式,前面再冠以正、负相间的符号,最后求它们的代数和若 x1的系数不为零,方程组的解可表示为,
333231
232221
131211
33323
23222
13121
1
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab
x?
333231
232221
131211
33331
23221
13111
2
aaa
aaa
aaa
aba
aba
aba
x?
333231
232221
131211
33231
22221
11211
3
aaa
aaa
aaa
baa
baa
baa
x? x1,x2,x3分子行列式都是由分母行列式去掉对应于的第 i列,
再换上常数列 b1,b2,b3
组成
,22 DDx? DDx 33?,11 D
Dx?公式解,
n阶行列式定义,由 n2个数 aij (i,j=1,2,...,n)构成 n阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
当 n=1时,D=a11
当 n>1时,
1,21
1,33231
1,22221
1
1
31
33331
22321
12
32
33332
22322
11
)1(
nnnn
n
n
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
aD
即 D是第一行元素与其对应的 n?1阶行列式乘积的代数和,其中与 a1j (j=1,2,...,n)对应的 n?1阶行列式,是由 D中划去 a1j 所在的行和列后余下的元素按原顺序组成的,
且在代数和中带有符号 (?1)1+j
例 1 计算行列式
938
727
061
解,原式 =
38
27
0
98
77
6
93
72
1
=1?(?3)?6?7+0
=?45
例 2 证明 下三角行列式 (主对角线上方所有元素全为零 )的值等于其主对角线上元素的乘积
nn
nnnnn
aaa
aaaa
aaa
aa
a
D?
2211
321
333231
2221
11
0
00
000
[证 ]
nnnn
aaa
aa
a
aD
32
3332
22
11
0
00
nnnn
aaa
aa
a
aa
43
4443
33
2211
0
00
=a11a22...ann
上三角行列式 (主对角线下方所有元素全为零 )的值也等于其主对角线上元素的乘积
nn
nn
n
n
n
aaa
a
aa
aaa
aaaa
D?
2211333
22322
1131211
000
00
0
—— 线性代数概述
§ 1 一种特殊数 —— 行列式
§ 1.1 行列式的定义
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
采用消元法
2122221212112
2212221212211
baxaaxaa
abxaaxaa
21122211
212221
1 aaaa
baabx
同理?
21122211
211211
2 aaaa
abbax
若 a11a22?a12a21?0
求解二元线性方程组为了便于讨论,引进符号
2221
1211
aa
aa
来表示数 a11a22?a12a21,即
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
我们称之为 二阶行列式,其中横写的叫 行,
竖写的叫 列,aij (i,j=1,2)称为它的 元素则方程组
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa 的解
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ab
ab
x?
2221
1211
221
111
2
aa
aa
ba
ba
x?
,
21122211
212221
1 aaaa
baabx
21122211
211211
2 aaaa
abbax
可写成,
公式解在这个公式解中,有一定的规律可循,
(1)分母是由原方程组未知数系数按原顺序排成的一个行列式,记作 D
(2)x1的分子行列式是将分母行列式的第一列换成常数项而得 ;x2的分子行列式是将分母行列式的第二列换成常数项所得,分别记作
D1,D2
2221
1211
222
121
1
aa
aa
ab
ab
x?
2221
1211
221
111
2
aa
aa
ba
ba
x?
D
D 1?
D
D 2?
(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31) x1
=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32
b1a23a32?a12b2a33?a13a22b3
求解三元线性方程组
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
采用消元法,消去 x2与 x3?
由二阶行列式的定义,x1的系数可表示成,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa 3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
把它记为,称为 三阶行列式上式的规律,把第一行每一元素乘以划去该元素所在的行、列之后剩下的二阶行列式,前面再冠以正、负相间的符号,最后求它们的代数和若 x1的系数不为零,方程组的解可表示为,
333231
232221
131211
33323
23222
13121
1
aaa
aaa
aaa
aab
aab
aab
x?
333231
232221
131211
33331
23221
13111
2
aaa
aaa
aaa
aba
aba
aba
x?
333231
232221
131211
33231
22221
11211
3
aaa
aaa
aaa
baa
baa
baa
x? x1,x2,x3分子行列式都是由分母行列式去掉对应于的第 i列,
再换上常数列 b1,b2,b3
组成
,22 DDx? DDx 33?,11 D
Dx?公式解,
n阶行列式定义,由 n2个数 aij (i,j=1,2,...,n)构成 n阶行列式
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
当 n=1时,D=a11
当 n>1时,
1,21
1,33231
1,22221
1
1
31
33331
22321
12
32
33332
22322
11
)1(
nnnn
n
n
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
a
aaa
aaa
aaa
aD
即 D是第一行元素与其对应的 n?1阶行列式乘积的代数和,其中与 a1j (j=1,2,...,n)对应的 n?1阶行列式,是由 D中划去 a1j 所在的行和列后余下的元素按原顺序组成的,
且在代数和中带有符号 (?1)1+j
例 1 计算行列式
938
727
061
解,原式 =
38
27
0
98
77
6
93
72
1
=1?(?3)?6?7+0
=?45
例 2 证明 下三角行列式 (主对角线上方所有元素全为零 )的值等于其主对角线上元素的乘积
nn
nnnnn
aaa
aaaa
aaa
aa
a
D?
2211
321
333231
2221
11
0
00
000
[证 ]
nnnn
aaa
aa
a
aD
32
3332
22
11
0
00
nnnn
aaa
aa
a
aa
43
4443
33
2211
0
00
=a11a22...ann
上三角行列式 (主对角线下方所有元素全为零 )的值也等于其主对角线上元素的乘积
nn
nn
n
n
n
aaa
a
aa
aaa
aaaa
D?
2211333
22322
1131211
000
00
0
