§ 2.2 定积分的换元积分法和分部积分法求定积分归结为求原函数,故利用求不定积分的方法若函数 f (x)在 [a,b]上连续,函数
x=?(t)满足下列条件,
一、换元积分法定理 1
(1)?(?)=a,?(?)=b,且 a≤?(t)≤b,t?[?,?]
(2)在 [?,?]上有连续导数(t)
则有定积分换元公式,
dtttfdxxfb
a
)()]([)(
注意,
(1)用 x=?(t)把变量 x换成新变量 t时,积分上下限也相应的改变
(2)求出 f[?(t)](t)的一个原函数?(t)后,
不必象计算不定积分那样把?(t)变换成变量 x的函数,而只要把新变量 t的上下限分别代入?(t),然后相减就行了
dxxx? 2
0
5 s i nco s
例 1 求解,令 t=cosx?dt=?sinxdx
2
xx=0
t=1?t=0
原式 =
dtt 0
1
5
0
1
6
6
t
6
1?
dx
xax
a
0 221
例 2 求 (a>0)
解,令 x=asint?dx=acostdt
2
t
x=0?t=0
原式 =
x=a
dt
tata
ta?
2
0 22 )s i n1(s i n
c o s?
dttt t 2
0 c o ss i n
c o s?
dttt tt 2
0
)c o ss i n s i nc o s1(21
2
0|]co ss i n|[ l n2
1
22
1 tt
4
dt
tt
tttt
2
0 c o ss i n
s i n
2
1c o s
2
1c o s
2
1s i n
2
1
dttt t 2
0 c o ss i n
c o s?
4
3
)ln1(ln
e
e xxx
dx例 3 求解,原式 =
4
3
)ln1(ln
)( l ne
e xx
xd
4
3
ln1ln
)( l ne
e xx
xd
4
3
ln1
ln2 e
e x
xd
4
3
2)ln(1
ln2 e
e x
xd
4
3
)]ln[ a r c s i n (2 e ex? 6
dxxx
0
53 s i ns i n
例 4 求解,原式 =
dxxx
0
2
3
)( s i n|c o s|
dxxxdxxx
2
2
3
2
0
2
3
)( s i nc o s)( s i nc o s
xdxxdx s i n)( s i ns i n)( s i n
2
2
3
2
0
2
3
2
2
52
0
2
5
)( s i n
5
2)( s i n
5
2 xx
5
4?
例 5 当 f(x)在 [?a,a]上连续,且有
dxxfdxxf aa
a
0
)(2)(
0)(
dxxfa
a
[证 ]
dxxfdxxfdxxf a
a
a
a
0
0 )()()(
在
dxxf
a
0 )( 中令 x=?t
dttf
a?
0 )(dxxf
a
0 )( dttfa
0
)(
(1)f(x)为偶函数,则
(2)f(x)为奇函数,则
dxxf
a
0 )( dttfa
0
)(
(1)f(x)为偶函数,则 f(?t)=f(t)
dxxfdxxfdxxf a
a
a
a
0
0 )()()(
dxxfa
0
)(2
(2)f(x)为奇函数,则 f(?t)=?f(t)
dxxfdxxfdxxf a
a
a
a
0
0 )()()( =0
dx
x
xxx?
1
1 2
2
11
c o s2
例 6 求解,原式 =
dx
x
xxdx
x
x
1
1 2
1
1 2
2
11
c o s
11
2
偶函数 奇函数
0
11
4
1
0 2
2
x
dxx dx
x
xx
1
0 2
22
)1(1
)11(4
dxx 1
0
2 )11(4 dxx 1
0
2144
单位圆的面积=4
若 u,v是 [a,b]上具有连续导数的函数,则二、分部积分法定理 2
duvuvdvu b
a
b
a
b
a
dxx? 2
1
0
a r c s i n
例 7 求解,原式 =
dx
x
xxx?
2
1
0 2
2
1
0 1]a r c s i n[
)1(
1
1
2
1
62
1 221
0 2
xd
x
2
1
0
2 ]1[
12 x
12312
dxxx4
0 2c o s1
例 8 求解,原式 =
dx
x
x? 4
0 2c o s2
)( t a n24
0
xdx
dxxxx 4
0
4
0 t a n2
1]t a n[
2
1
4
0|]co s|ln[2
1
8
x
4
2ln
8
dx
x
x?
1
0 2)2(
)1ln(例 9 求解,原式 =
xdx 2
1)1l n (1
0
)1l n (2 1]2 )1l n ([
1
0
1
0 xdxx
x?
dxxx 1 12 13 2ln 1
0
dxxx )2 11 1(3 2ln 1
0?
1
0|]2|ln|1|[ l n3
2ln xx 3ln2ln
3
5
例 10 设 f(x)在 [0,1]上连续,且 f (0)=1,
解,
dxxfx1
0
)2(
dxxfx1
0
)2( )2(21 1
0
xfdx
dxxfxfx 1
0
1
0 )2(2
1)]2([
2
1
1
0)]2([4
1)2(
2
1 xff
10 )2(2121)2(21 xdff
)]0()2([4125 ff
=2
f(2)=3,f?(2)=5,求
x=?(t)满足下列条件,
一、换元积分法定理 1
(1)?(?)=a,?(?)=b,且 a≤?(t)≤b,t?[?,?]
(2)在 [?,?]上有连续导数(t)
则有定积分换元公式,
dtttfdxxfb
a
)()]([)(
注意,
(1)用 x=?(t)把变量 x换成新变量 t时,积分上下限也相应的改变
(2)求出 f[?(t)](t)的一个原函数?(t)后,
不必象计算不定积分那样把?(t)变换成变量 x的函数,而只要把新变量 t的上下限分别代入?(t),然后相减就行了
dxxx? 2
0
5 s i nco s
例 1 求解,令 t=cosx?dt=?sinxdx
2
xx=0
t=1?t=0
原式 =
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1
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a
0 221
例 2 求 (a>0)
解,令 x=asint?dx=acostdt
2
t
x=0?t=0
原式 =
x=a
dt
tata
ta?
2
0 22 )s i n1(s i n
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0 c o ss i n
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0
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1
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dt
tt
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s i n
2
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2
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例 5 当 f(x)在 [?a,a]上连续,且有
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(1)f(x)为偶函数,则
(2)f(x)为奇函数,则
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(1)f(x)为偶函数,则 f(?t)=f(t)
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(2)f(x)为奇函数,则 f(?t)=?f(t)
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偶函数 奇函数
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2144
单位圆的面积=4
若 u,v是 [a,b]上具有连续导数的函数,则二、分部积分法定理 2
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a
b
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例 7 求解,原式 =
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例 8 求解,原式 =
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)1l n (2 1]2 )1l n ([
1
0
1
0 xdxx
x?
dxxx 1 12 13 2ln 1
0
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0?
1
0|]2|ln|1|[ l n3
2ln xx 3ln2ln
3
5
例 10 设 f(x)在 [0,1]上连续,且 f (0)=1,
解,
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0
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dxxfx1
0
)2( )2(21 1
0
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dxxfxfx 1
0
1
0 )2(2
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2
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0)]2([4
1)2(
2
1 xff
10 )2(2121)2(21 xdff
)]0()2([4125 ff
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f(2)=3,f?(2)=5,求
