§ 6 习题课一、主要内容二、例题
（一）定积分的定义和性质
（二） 定积分的求解一、主要内容
（三） 定积分的应用问题的提出,
原型 1,求曲边梯形的面积曲边梯形由连续曲线 y=f(x)( f(x)≥0),
x轴与两条直线 x=a,x=b所围成,
n
i
ii xfS
10
)(lim?
原型 2 求变力所作的功设质点 m受水平力 F的作用沿 x轴由点 a移动到点 b:
n
i
ii xFW
10
)(l i m?
方法,分割、近似求和、取极限定积分的定义设函数 f(x)在 [a,b]上有界,用点 a=x0
<x1<x2<,..<xn?1<xn=b将 [a,b]分割成 n个子区间,各子区间的长度为?xi=xi?xi?1
(i=1,2,...,n).在每个子区间 上任取一点?i
(?ixi),作乘积 f(?i)?xi的和式
n
i
ii xf
1
)(?
记?=max{?xi},当0时,?
n
i
ii xf
1
)(?
的极限存在,并且其极限值与 [a,b]的分法以及?i的取法无关,则该极限值称为函数
f(x)在区间 [a,b]上的 定积分,记作
dxxfb
a?
)(
即
n
i
ii
b
a
xfdxxf
10
)(lim)(?
定积分的几何意义
f(x)>0,
Sdxxfb
a
)(
曲边梯形的面积
f(x)<0,
Sdxxfb
a
)(
曲边梯形的面积的负值它是介于 x轴、函数 f(x)的图形及其两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和,在 x轴上方的面积取正号 ;在 x轴下方的面积取负号存在定理定理 1(可积的必要条件 ) 若函数 f(x)在
[a,b]上可积,则 f(x)在 [a,b]上有界定理 2(可积的充分条件 ) 若 f(x)是闭区间
[a,b]上的连续函数,或者是闭区间 [a,b]上的单调函数,或者是 [a,b]上只有有限个间断点的有界函数,则 f(x)在 [a,b]上可积定积分的性质
dxxfkdxxkf b
a
b
a
)()( (k为常数 )
dxxgdxxfdxxgxf b
a
b
a
b
a
)()()]()([
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
性质 3(对积分区间的可加性 )
性质 2
性质 1
abdxb
a
性质 4
dxxgdxxf b
a
b
a
)()(
性质 6(保序性 )
若在 [a,b](a<b)上 f(x)≤g(x),则
)( |)(||)(| badxxfdxxf b
a
b
a
性质 7(定积分的绝对值不等式 )
0)( dxxfb
a
性质 5 若在 [a,b] (a<b)上 f(x)≥0,则
))(()( abfdxxfb
a
性质 9(积分中值定理 ) 若函数 f(x)在 [a,b]
上连续,则在 [a,b]上至少存在一点?,使得
)()()( abMdxxfabm b
a
性质 8(有界性 ) 设 m,M分别是 f(x)在 [a,b]
上的最小值和最大值,则
—— 积分中值公式微积分基本定理在 [a,b]上可导,且
(x)=f(x)
若函数 f(x)在 [a,b]上连续,则积分上限函数
dttfx x
a?
)()(
若 f(x)连续,a(x)和 b(x)可导,则
dttfxF xb
xa?
)(
)(
)()(
补充,
的导数 F?(x)为,
F?(x)=f [b(x)]b?(x)?f [a(x)]a?(x)
可见,?(x)是 f(x)在 [a,b]上的一个原函数牛顿?莱布尼茨公式若 F(x)是连续函数 f(x)在 [a,b]上的一个原函数,则
)()()( aFbFdxxfb
a
表明,一个连续函数在 [a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在 [a,b]上的增量定积分的计算法换元法,
dtttfdxxfb
a
)()]([)(
分部积分法,
duvuvdvu b
a
b
a
b
a
广义积分无穷限的广义积分
dxxfdxxf b
aba
)(lim)(
dxxfdxxf b
aa
b
)(lim)(
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散
dxxfdxxfdxxf
a
a
)()()(
被积函数有无穷型间断点的广义积分
dttfdxxf b
xax
b
a
)(lim)(
dttfdxxf x
abx
b
a
)(lim)(
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散定积分的应用
a
y
o xb
y=f(x)
y=g(x)
a
y
o xb
y=f(x)
x+?x
1.平面图形的面积
x
曲边梯形的面积
dxxfS b
a?
|)(|
x+?xx
曲边梯形的面积
dxxgxfS b
a?
)]()([
f(x)≥ g(x)
dS=[f(x)?g(x)]dxf(x)正负不知
为一空间立体,它夹在垂直于 x
轴的两平面 x=a及 x=b之间 (a<b),其体积
2.由截面面积求立体体积
xo a bxx+dx
S(x)表示过点 x且垂直于 x轴的截面面积
dxxSV b
a?
)(
旋转体的体积为,
dxxfV b
a?
)(2?
二、典型例题例 1 求解,
dxx2
0
2s i n1
原式 =
dxxx 2
0
|co ss i n|
dxxxdxxx 2
4
4
0
)c o s( s i n)s i n( c o s
222
dxxxxx2
0
22 co ss i n2co ss i n
例 2 求解：
dxe x2ln
0
21
原式 =
令 e?x=sint?x=?lnsint
dtttdx s i nc o s
x=0
2
t
x=ln2
6
t
dtttt6
2
)s i nc o s(c o s
dtt
t 2
6
2
s i n
c o s?
dttdtt 2
6
2
6
s i ns i n1
2
3)32l n (
例 3 求解：
dxx
x
x?
2
1
2
1
2
8 ])1(ln1
s i n[
原式 =
dxx?
2
1
2
1 |)1l n (|
0
dxxdxx
2
1
0
0
2
1 )1ln()1ln(
2
1ln
2
3ln
2
3
奇函数例 4 求解：
dxxx?
2
2
2 },
||
1m i n {
原式 =
},|| 1m i n { 2xx?
1||,
||
1
1||,
2
x
x
xx 偶函数
dxxx?
2
0
2 },
||
1m i n {2
dxxdxx 2
1
1
0
2 122
2ln232
例 5 求解：
942 xx dx
原式 =
0 20 2 9494 xx dxxx dx
bbaa xx dxxx dx 0 20 2 94lim94lim
0]
5
2a r c t a n
5
1[lim
aa
x
5
b
b
x
0]5
2a r c t a n
5
1[lim
例 6 求椭圆 的面积解：
12
2
2
2
b
y
a
x
o x
y
由对称性,椭圆面积
S=4S1
S1
S1为椭圆在第一象限部分的面积则
dxyS a
0
4 dxxaab
a
0
224
dxxaa b a
0
224
4
4 2a
a
b =?ab
圆
（一）定积分的定义和性质
（二） 定积分的求解一、主要内容
（三） 定积分的应用问题的提出,
原型 1,求曲边梯形的面积曲边梯形由连续曲线 y=f(x)( f(x)≥0),
x轴与两条直线 x=a,x=b所围成,
n
i
ii xfS
10
)(lim?
原型 2 求变力所作的功设质点 m受水平力 F的作用沿 x轴由点 a移动到点 b:
n
i
ii xFW
10
)(l i m?
方法,分割、近似求和、取极限定积分的定义设函数 f(x)在 [a,b]上有界,用点 a=x0
<x1<x2<,..<xn?1<xn=b将 [a,b]分割成 n个子区间,各子区间的长度为?xi=xi?xi?1
(i=1,2,...,n).在每个子区间 上任取一点?i
(?ixi),作乘积 f(?i)?xi的和式
n
i
ii xf
1
)(?
记?=max{?xi},当0时,?
n
i
ii xf
1
)(?
的极限存在,并且其极限值与 [a,b]的分法以及?i的取法无关,则该极限值称为函数
f(x)在区间 [a,b]上的 定积分,记作
dxxfb
a?
)(
即
n
i
ii
b
a
xfdxxf
10
)(lim)(?
定积分的几何意义
f(x)>0,
Sdxxfb
a
)(
曲边梯形的面积
f(x)<0,
Sdxxfb
a
)(
曲边梯形的面积的负值它是介于 x轴、函数 f(x)的图形及其两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和,在 x轴上方的面积取正号 ;在 x轴下方的面积取负号存在定理定理 1(可积的必要条件 ) 若函数 f(x)在
[a,b]上可积,则 f(x)在 [a,b]上有界定理 2(可积的充分条件 ) 若 f(x)是闭区间
[a,b]上的连续函数,或者是闭区间 [a,b]上的单调函数,或者是 [a,b]上只有有限个间断点的有界函数,则 f(x)在 [a,b]上可积定积分的性质
dxxfkdxxkf b
a
b
a
)()( (k为常数 )
dxxgdxxfdxxgxf b
a
b
a
b
a
)()()]()([
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
性质 3(对积分区间的可加性 )
性质 2
性质 1
abdxb
a
性质 4
dxxgdxxf b
a
b
a
)()(
性质 6(保序性 )
若在 [a,b](a<b)上 f(x)≤g(x),则
)( |)(||)(| badxxfdxxf b
a
b
a
性质 7(定积分的绝对值不等式 )
0)( dxxfb
a
性质 5 若在 [a,b] (a<b)上 f(x)≥0,则
))(()( abfdxxfb
a
性质 9(积分中值定理 ) 若函数 f(x)在 [a,b]
上连续,则在 [a,b]上至少存在一点?,使得
)()()( abMdxxfabm b
a
性质 8(有界性 ) 设 m,M分别是 f(x)在 [a,b]
上的最小值和最大值,则
—— 积分中值公式微积分基本定理在 [a,b]上可导,且
(x)=f(x)
若函数 f(x)在 [a,b]上连续,则积分上限函数
dttfx x
a?
)()(
若 f(x)连续,a(x)和 b(x)可导,则
dttfxF xb
xa?
)(
)(
)()(
补充,
的导数 F?(x)为,
F?(x)=f [b(x)]b?(x)?f [a(x)]a?(x)
可见,?(x)是 f(x)在 [a,b]上的一个原函数牛顿?莱布尼茨公式若 F(x)是连续函数 f(x)在 [a,b]上的一个原函数,则
)()()( aFbFdxxfb
a
表明,一个连续函数在 [a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在 [a,b]上的增量定积分的计算法换元法,
dtttfdxxfb
a
)()]([)(
分部积分法,
duvuvdvu b
a
b
a
b
a
广义积分无穷限的广义积分
dxxfdxxf b
aba
)(lim)(
dxxfdxxf b
aa
b
)(lim)(
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散
dxxfdxxfdxxf
a
a
)()()(
被积函数有无穷型间断点的广义积分
dttfdxxf b
xax
b
a
)(lim)(
dttfdxxf x
abx
b
a
)(lim)(
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
当极限存在时,称广义积分 收敛 ;当极限不存在时,称广义积分 发散定积分的应用
a
y
o xb
y=f(x)
y=g(x)
a
y
o xb
y=f(x)
x+?x
1.平面图形的面积
x
曲边梯形的面积
dxxfS b
a?
|)(|
x+?xx
曲边梯形的面积
dxxgxfS b
a?
)]()([
f(x)≥ g(x)
dS=[f(x)?g(x)]dxf(x)正负不知
为一空间立体,它夹在垂直于 x
轴的两平面 x=a及 x=b之间 (a<b),其体积
2.由截面面积求立体体积
xo a bxx+dx
S(x)表示过点 x且垂直于 x轴的截面面积
dxxSV b
a?
)(
旋转体的体积为,
dxxfV b
a?
)(2?
二、典型例题例 1 求解,
dxx2
0
2s i n1
原式 =
dxxx 2
0
|co ss i n|
dxxxdxxx 2
4
4
0
)c o s( s i n)s i n( c o s
222
dxxxxx2
0
22 co ss i n2co ss i n
例 2 求解：
dxe x2ln
0
21
原式 =
令 e?x=sint?x=?lnsint
dtttdx s i nc o s
x=0
2
t
x=ln2
6
t
dtttt6
2
)s i nc o s(c o s
dtt
t 2
6
2
s i n
c o s?
dttdtt 2
6
2
6
s i ns i n1
2
3)32l n (
例 3 求解：
dxx
x
x?
2
1
2
1
2
8 ])1(ln1
s i n[
原式 =
dxx?
2
1
2
1 |)1l n (|
0
dxxdxx
2
1
0
0
2
1 )1ln()1ln(
2
1ln
2
3ln
2
3
奇函数例 4 求解：
dxxx?
2
2
2 },
||
1m i n {
原式 =
},|| 1m i n { 2xx?
1||,
||
1
1||,
2
x
x
xx 偶函数
dxxx?
2
0
2 },
||
1m i n {2
dxxdxx 2
1
1
0
2 122
2ln232
例 5 求解：
942 xx dx
原式 =
0 20 2 9494 xx dxxx dx
bbaa xx dxxx dx 0 20 2 94lim94lim
0]
5
2a r c t a n
5
1[lim
aa
x
5
b
b
x
0]5
2a r c t a n
5
1[lim
例 6 求椭圆 的面积解：
12
2
2
2
b
y
a
x
o x
y
由对称性,椭圆面积
S=4S1
S1
S1为椭圆在第一象限部分的面积则
dxyS a
0
4 dxxaab
a
0
224
dxxaa b a
0
224
4
4 2a
a
b =?ab
圆
