§ 4 定积分魅力的显示
—— 在若干学科中的应用
§ 4.1 微元法定积分的应用问题,一般可以按
“分割、近似求和、取极限”三个步骤把所求量表示为定积分的形式
dxxfS )(
a
y
o xb
y=f(x)在求曲边梯形的面积中,
x x+dx
用?S表示任一小区间
[x,x+?x]上的窄曲边梯形的面积,则
SS
并取?S?f(x)dx,则
dxxfS )(lim
dxxfb
a?
)(
dS
面积元素当所求量 Q符合下列条件,
(1)Q是与一个变量 x的变化区间 [a,b]有关的量
(2)Q对于区间 [a,b]具有可加性,即,如果把区间 [a,b]分成许多部分区间,则 Q相应地分成许多部分量,而 Q 等于所有部分量之和
(3)部分量?Qi的近似值可表示为 f(?i)?xi
就可以考虑用定积分来表达这个量 Q
微元法的一般步骤,
(1)根据问题的具体情况,选取一个变量
(如 x)为积分变量,并确定它的变化区间
[a,b]
(2)设想把区间 [a,b]分成 n个小区间,取其中任一小区间并记为 [x,x+dx],求出相应于这小区间的部分量?Q的近似值,如果
Q能近似地表示为 [a,b]上的一个连续函数在 x处的值 f(x)与 dx的乘积,就把 f(x)dx
称为量 Q的元素且记作 dQ,即 dQ=f(x)dx
(3)以所求量 Q的元素 f(x)dx为被积表达式,在区间 [a,b]上作定积分,得
dxxfQ b
a?
)(
即为所求量 Q的积分表达式这个方法通常叫做 微元法 (元素法 )
微元法的实质仍是和式的极限
a
y
o xb
y=f(x)
y=g(x)
a
y
o xb
y=f(x)
x+?x
§ 4.2 在几何学中的应用
1.平面图形的面积
x
曲边梯形的面积
dxxfS b
a?
|)(|
x+?xx
曲边梯形的面积
dxxgxfS b
a?
)]()([
f(x)≥ g(x)
dS=[f(x)?g(x)]dxf(x)正负不知例 1 计算由两条抛物线 y2=x和 y=x2所围成的图形的面积解,
2xy?
2yx?两曲线的交点,
(0,0),(1,1)
选 x为积分变量
x?[0,1]
面积元素 dS dxxx )( 2
dxxxS 1
0
2 )( 1
0
3
2
3
]332[ xx 31?
xxy 63
2xy?
例 2 计算由两条 y=x3?6x和 y=x2所围成的图形的面积解,两曲线的交点,
(0,0),(?2,4),(3,9)
选 x为积分变量
(1) x?[?2,0]
x?[?2,3]
dS1=(x3?6x?x2)dx
(2) x?[0,3]
dS2=(x2?x3+6x)dx
所求面积为,S=S1+S2
dxxxxS?
0
2
23 )6(
12
2 5 3?
说明,
注意各积分区间上被积函数的形式问题,积分变量只能选 x吗?
dxxxx 3
0
32 )6(
例 3 计算由曲线 y2=2x和直线 y=x?4所围成的图形的面积解,两曲线的交点,
(2,?2),(8,4)
选 y为积分变量 y?[?2,4]
dyyydS )24(
2
4 2dSS =18
设?为一空间立体,它夹在垂直于 x
轴的两平面 x=a及 x=b之间 (a<b),求其体积 V
2.由截面面积求立体体积
xo a bxx+dx
S(x)表示过点 x且垂直于 x轴的截面面积
S(x)为 x的已知连续函数
dV=S(x)dx 立体体积 V
dxxSb
a?
)(
x
y
o
y=f(x)
x dxx?
特别,由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b
及 x轴所围成的曲边梯形,绕 x轴旋转一周所得到的立体 (即 旋转体 )的体积,
取积分变量为 xx?[a,b]
在 [a,b]上任取小区间
[x,x+dx]
取以 dx为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,dV=?f 2(x)dx
旋转体的体积为,
dxxfV b
a?
)(2?
例 4 连接坐标原点 O及点 P(h,r)的直线,直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形,将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r,高为 h的圆锥体,求圆锥体的体积解,
y
o x
P
r
h直线 OP方程为
xhry?
取积分变量为 x x?[0,h]
在 [0,h]上任取小区间 [x,x+dx]
以 dx为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积为圆锥体的体积为,
dxxhrdV 2)(
h dxxhrV 0 2)(?
h
dxx
h
r
0
2
2
2?
hx
h
r
0
3
2
2
]3[ 3
2hr?
y
o x
P
r
h
a? ao
y
x
例 5 求星形线 (a>0)绕 x轴旋转构成的旋转体的体积解,
3
2
3
2
3
2
ayx
3
2
3
2
3
2
xay
dV=?f 2(x)dx
dxxa 33
2
3
2
)(
旋转体的体积
dxxaV a
a
33
2
3
2
)(?
x?[?a,a]
3
1 0 5
32 a
§ 4.3 在物理学中的应用
—— 变力作功
o
m F
xba x x+dx
力 F(x)所作的微功为,dW=F(x)dx
得,
dxxFW b
a?
)(
例 6 把一个带 +q电量的点电荷放在 r轴上坐标原点处,它产生一个电场,这个电场对周围的电荷有作用力,由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r的地方,那么电场对它的作用力的大小为 (k是常数 ),当这个单位正电荷在
2r
qkF?
电场中从 r=a处沿 r轴移动到 r=b处时,求电场力 F对它所作的功解,+qo ra br r+dr
任取一小区间 [r,r+dr]
取积分变量为 r r?[a,b]
功元素为,
dr
r
kqdW
2?
所求功为,
dr
r
kqW b
a?
2 barkq ]1[
)11( bakq
+q
o ra br r+dr
—— 在若干学科中的应用
§ 4.1 微元法定积分的应用问题,一般可以按
“分割、近似求和、取极限”三个步骤把所求量表示为定积分的形式
dxxfS )(
a
y
o xb
y=f(x)在求曲边梯形的面积中,
x x+dx
用?S表示任一小区间
[x,x+?x]上的窄曲边梯形的面积,则
SS
并取?S?f(x)dx,则
dxxfS )(lim
dxxfb
a?
)(
dS
面积元素当所求量 Q符合下列条件,
(1)Q是与一个变量 x的变化区间 [a,b]有关的量
(2)Q对于区间 [a,b]具有可加性,即,如果把区间 [a,b]分成许多部分区间,则 Q相应地分成许多部分量,而 Q 等于所有部分量之和
(3)部分量?Qi的近似值可表示为 f(?i)?xi
就可以考虑用定积分来表达这个量 Q
微元法的一般步骤,
(1)根据问题的具体情况,选取一个变量
(如 x)为积分变量,并确定它的变化区间
[a,b]
(2)设想把区间 [a,b]分成 n个小区间,取其中任一小区间并记为 [x,x+dx],求出相应于这小区间的部分量?Q的近似值,如果
Q能近似地表示为 [a,b]上的一个连续函数在 x处的值 f(x)与 dx的乘积,就把 f(x)dx
称为量 Q的元素且记作 dQ,即 dQ=f(x)dx
(3)以所求量 Q的元素 f(x)dx为被积表达式,在区间 [a,b]上作定积分,得
dxxfQ b
a?
)(
即为所求量 Q的积分表达式这个方法通常叫做 微元法 (元素法 )
微元法的实质仍是和式的极限
a
y
o xb
y=f(x)
y=g(x)
a
y
o xb
y=f(x)
x+?x
§ 4.2 在几何学中的应用
1.平面图形的面积
x
曲边梯形的面积
dxxfS b
a?
|)(|
x+?xx
曲边梯形的面积
dxxgxfS b
a?
)]()([
f(x)≥ g(x)
dS=[f(x)?g(x)]dxf(x)正负不知例 1 计算由两条抛物线 y2=x和 y=x2所围成的图形的面积解,
2xy?
2yx?两曲线的交点,
(0,0),(1,1)
选 x为积分变量
x?[0,1]
面积元素 dS dxxx )( 2
dxxxS 1
0
2 )( 1
0
3
2
3
]332[ xx 31?
xxy 63
2xy?
例 2 计算由两条 y=x3?6x和 y=x2所围成的图形的面积解,两曲线的交点,
(0,0),(?2,4),(3,9)
选 x为积分变量
(1) x?[?2,0]
x?[?2,3]
dS1=(x3?6x?x2)dx
(2) x?[0,3]
dS2=(x2?x3+6x)dx
所求面积为,S=S1+S2
dxxxxS?
0
2
23 )6(
12
2 5 3?
说明,
注意各积分区间上被积函数的形式问题,积分变量只能选 x吗?
dxxxx 3
0
32 )6(
例 3 计算由曲线 y2=2x和直线 y=x?4所围成的图形的面积解,两曲线的交点,
(2,?2),(8,4)
选 y为积分变量 y?[?2,4]
dyyydS )24(
2
4 2dSS =18
设?为一空间立体,它夹在垂直于 x
轴的两平面 x=a及 x=b之间 (a<b),求其体积 V
2.由截面面积求立体体积
xo a bxx+dx
S(x)表示过点 x且垂直于 x轴的截面面积
S(x)为 x的已知连续函数
dV=S(x)dx 立体体积 V
dxxSb
a?
)(
x
y
o
y=f(x)
x dxx?
特别,由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b
及 x轴所围成的曲边梯形,绕 x轴旋转一周所得到的立体 (即 旋转体 )的体积,
取积分变量为 xx?[a,b]
在 [a,b]上任取小区间
[x,x+dx]
取以 dx为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素,dV=?f 2(x)dx
旋转体的体积为,
dxxfV b
a?
)(2?
例 4 连接坐标原点 O及点 P(h,r)的直线,直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形,将它绕
x轴旋转构成一个底半径为 r,高为 h的圆锥体,求圆锥体的体积解,
y
o x
P
r
h直线 OP方程为
xhry?
取积分变量为 x x?[0,h]
在 [0,h]上任取小区间 [x,x+dx]
以 dx为底的窄边梯形绕 x轴旋转而成的薄片的体积为圆锥体的体积为,
dxxhrdV 2)(
h dxxhrV 0 2)(?
h
dxx
h
r
0
2
2
2?
hx
h
r
0
3
2
2
]3[ 3
2hr?
y
o x
P
r
h
a? ao
y
x
例 5 求星形线 (a>0)绕 x轴旋转构成的旋转体的体积解,
3
2
3
2
3
2
ayx
3
2
3
2
3
2
xay
dV=?f 2(x)dx
dxxa 33
2
3
2
)(
旋转体的体积
dxxaV a
a
33
2
3
2
)(?
x?[?a,a]
3
1 0 5
32 a
§ 4.3 在物理学中的应用
—— 变力作功
o
m F
xba x x+dx
力 F(x)所作的微功为,dW=F(x)dx
得,
dxxFW b
a?
)(
例 6 把一个带 +q电量的点电荷放在 r轴上坐标原点处,它产生一个电场,这个电场对周围的电荷有作用力,由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 r的地方,那么电场对它的作用力的大小为 (k是常数 ),当这个单位正电荷在
2r
qkF?
电场中从 r=a处沿 r轴移动到 r=b处时,求电场力 F对它所作的功解,+qo ra br r+dr
任取一小区间 [r,r+dr]
取积分变量为 r r?[a,b]
功元素为,
dr
r
kqdW
2?
所求功为,
dr
r
kqW b
a?
2 barkq ]1[
)11( bakq
+q
o ra br r+dr
