§ 2 计算不定式极限的一般方法
—— 洛必达法则
§ 2.1 两个基本类型不定式
1.
0
0 型不定式
2.
型不定式
1,型不定式
0
0
定理 1 如果函数 f(x)和 g(x)满足
(1)当 x?a或 x时,f(x)?0,g(x)?0
(2) f?(x)和 g?(x)存在,且 g?(x)?0
(3)
)(
)(l i m
xg
xf
存在 (或为无穷大 )
那么
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
定义,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则例 1 求
x
x
x
t a nl i m
0?
解,原式 =
x
x
x?
)( t a nl i m
0
1
s e clim 2
0
x
x?
=1
0
0
例 2 求
1
23l i m
23
3
1

xxx
xx
x
解,原式 =
123
33lim
2
2
1
xx
x
x
0
0
0
0
26
6l i m
1?
x
x
x
2
3?
166lim
1

x
(错解 )
0
0
2,型不定式
定理 2 如果函数 f(x)和 g(x)满足
(1)当 x?a或 x时,f(x),g(x)
(2) f?(x)和 g?(x)存在,且 g?(x)?0
(3)
)(
)(l i m
xg
xf
存在 (或为无穷大 )
那么
)(
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
例 3 求
2
lnl i m
x
x
x
解,原式 =
x
x
x 2
1
lim

22
1lim
xx
=0
例 4 求
x
x
x 1
a r c t a n
2l i m

解,原式 =
0
0
2
2
1
1
1
lim
x
x
x

2
2
1
lim
x
x
x?

=1
x
x
x 2
2l i m

例 5 求
bx
ax
x s i nln
s i nlnl i m
0?
解,原式 =
bbx
bx
aax
ax
x
c o s
s i n
1
c o s
s i n
1
lim
0
axbxb
bxaxa
x s i nc o s
s i nc o sl i m
0?
axa
bxb
bxb
axa
xx c o s
c o sl i m
c o s
c o sl i m
00
ax
bx
x c o s
c o slim
0?
=1
0
0
注意,洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,
效果更好例 6 求
xx
xx
x t a n
t a nlim
20
解,原式 =
30
t a nlim
x
xx
x
2
2
0 3
1s e cl i m
x
x
x

x
xxx
x 6
t a ns e cs e c2lim
0?
x
x
x 3
t a nlim
0?
31?
例 7 求
x
xx
x
c o slim?

解,原式 =
1
s i n1l i m x
x

)s i n1(l i m xx
极限不存在洛必达法则失效原式 =
)c o s11(lim xx
x

=1
注意,洛必达法则的使用条件