§ 4.2 利用导数绘制函数的图像描点法是作函数图像的基本方法但所取的点不一定是函数最具特征的关键点一阶导数?单调性、极值点二阶导数?凹凸性、拐点定义,
一、渐近线如果曲线上的动点沿曲线趋于无穷远时,该点与某条直线的距离趋于零,
那么这条直线就称为该曲线的 渐近线
,则直线 y=c是曲线
y=f(x)的一条水平渐近线
1.水平渐近线如果
cxfx )(l i m
例如 y=arctanx
有水平渐近线两条,,
2
y
2
y
,则直线 x=a是曲线
y=f(x)的一条垂直渐近线
2.垂直渐近线如果
)(lim xfax
例如
)3)(2(
1
xxy
有垂直渐近线两条,
x=?2,
x=3
,则直线
y=ax+b是曲线 y=f(x)的一条斜渐近线
3.斜渐近线如果
0)]()([lim baxxfx
求法,
,)(lim xxfa
x
])([lim axxfb x
注意,如果不存在x xf
x
)(lim)1(

存在，x xf
x
)(l i m)2(
不存在但 ])([lim axxfx
可以断定 y=f(x)不存在斜渐近线例 1 求 f(x)= 的渐近线
1
)3)(2(2

x
xx
解,x?(,1)∪ (1,+?)
)(l i m
1
xf
x
=,
∴ x=1是曲线的垂直渐近线
x
xfa
x
)(lim

又
)1(
)3)(2(2lim

xx
xx
x
=2
)(lim
1
xf
x
=+?
])([lim axxfb x
]21 )3)(2(2[lim xx xxb
x


1
)1(2)3)(2(2lim

x
xxxx
x
=4
∴ y=2x+4是曲线的斜渐近线二、利用导数绘制函数的图像步骤,1.确定函数的定义域
2.考察函数的奇偶性、周期性
3.求函数的间断点、驻点、不可导点,用这些点划分出若干个子区间
4.列表讨论函数在各个子区间内的增减性、凹凸性,判断极值点和拐点
5.确定曲线的渐近线
6.求曲线上的一些辅助点
7.根据以上讨论完成作图例 2 作函数 f(x)= 的图形
2)1(4 2
x
x
解,x?(,0)∪ (0,+?)
非奇非偶函数,无周期性
,)2(4)( 3
x
xxf
4
)3(8)(
x
xxf
令 f?(x)=0?驻点 x=?2
令 f(x)=0?特殊点 x=?3
)(l i m xfx ]2)1(4[l i m 2
x
x
x
=?2
得水平渐近线 y=?2
)(l i m0 xfx? ]2)1(4[l i m 2
0

x
x
x
=+?
得垂直渐近线 x=0
列表讨论,
x
f?(x)
f(x)
f(x)
(,?3)?3 (?3,?2)?2 (?2,0) 0 (0,+?)
0 +
不存在
+ ++0
拐点极小值间断点
9
26)3(f
f(?2)=?3
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
补充点,),0,31(? )0,31(?
A(?1,?2),B(1,6),C(2,1)
作图,
2)1(4)( 2
x
xxf
例 2 作函数 f(x)=x3?x2?x+1的图形解,x?(,+?) 无奇偶性,无周期性令 f?(x)=0?驻点 x=?1/3,x=1
令 f(x)=0?特殊点 x=1/3
f?(x)=3x2?2x?1 f(x)=6x?2
补充点,A(?1,0),B(0,1),C(3/2,5/8)
列表讨论,
x
f?(x)
f(x)
f(x)
1 (1,+?)
0 ++
+ +?
0
拐点极大值极小值
)31,( 31? )31,31(? 31 )1,31(
27
32)
3
1(f
f(1)=0
27
16)
3
1(?f
x
y
o )0,1(?A
)1,0(B )85,23(C
11? 3131?
y=x3?x2?x+1