§ 2.2 其他类型的不定式
0,,00,1?,?0型不定式关键,通过适当的变形化为
0
0 型或
型
1,0型步骤,0

1 或
0
10?
例 1 求 x
x ex
2l im?

解,原式 =
2lim x
e x
x x
e x
x 2
l i m

2l im
x
x
e

= +?
2,型步骤,
0
1
0
1
00
00

例 2 求 )1
s i n
1(lim
0 xxx
解,原式 =
xx
xx
x s i n
s i nlim
0
xxx
x
x c o ss i n
c o s1lim
0?

xxxx
x
x s i nc o sc o s
s i nlim
0
=0
3,00,1?,?0型步骤,
0
0
1
0
取对数


ln0
1ln
0ln0
e
e
e
e0
例 3 求
x
x
x
0
lim
解,原式 = xx
x
e ln
0
lim

00
xx
xe
lnlim
0
x
x
x
e
1
lnl i m
0
2
0 1
1
l i m
x
x
x
e
=e0 =1
例 4 求 x
x
x?
1
1
1
lim
解,原式 =
1?
xx
x
e
ln1 1
1
l i m?
x
x
xe 1
lnl i m
1
1
1
lim
1
x
xe
=e?1
例 5 求 x
x
x ln
1
0
)( c o tlim

解,原式 =
0
)l n ( c o t
ln
1
0
lim
x
x
x
e

)l n ( c o tln 1lim
0
xx
xe
x
x
x ln
)l n ( c o tl i m
0
x
x
x
x 1
)c s c(
c ot
1
lim
2
0

xx
x
x s i nc o s
lim
0


=?1
∴ 原式 =e?1
练习题
x
x
x
)1l n (l i m,1
0
x
x
x 2t a nln
7t a nlnl i m,2
0?
1
1
2
2
)2(
s i nlnl i m,3
x
x
x
x
x
x a r c t a n
)11l n (
lim,4

1
8
1?
xxx 2c o tl i m,5 0?
)11
1
2(lim,6
21 xxx
x
x
x s i n
0
l i m,7

x
x x
t a n
0
)1(l i m,8

2
1
2
1?
1
1
x
x
x )a r c t a n2(lim,9?

2?e