§ 1.5 定积分的性质只有当 a<b时才有意义,为了使用上的方便,规定
(1)当 a=b时,0)( dxxfb
a
(2)当 a>b时,dxxfdxxf a
b
b
a
)()(
dxxfb
a?
)(
说明,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小
dxxfkdxxkf b
a
b
a
)()( (k为常数 )
dxxgdxxfdxxgxf b
a
b
a
b
a
)()()]()([
dxxfdxxfdxxf b
c
c
a
b
a
)()()(
性质 3(对积分区间的可加性 )
性质 2
性质 1
0)( dxxfb
a
性质 5 若在 [a,b] (a<b)上 f(x)≥0,则
abdxb
a
性质 4
dxxgdxxf b
a
b
a
)()(
性质 6(保序性 )
若在 [a,b](a<b)上 f(x)≤g(x),则
)( |)(||)(| badxxfdxxf b
a
b
a

性质 7(定积分的绝对值不等式 )
∵?|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|
dxxfdxxfdxxf b
a
b
a
b
a
|)(|)(|)(|
)()()( abMdxxfabm b
a

性质 8(有界性 ) 设 m,M分别是 f(x)在 [a,b]
上的最小值和最大值,则此性质可用于估计积分值的大致范围
))(()( abfdxxfb
a

性质 9(积分中值定理 ) 若函数 f(x)在 [a,b]
上连续,则在 [a,b]上至少存在一点?,使得
—— 积分中值公式
y
o xa b
积分中值定理的几何意义
f(?)
若 f(x)在 [a,b]上连续且非负,则 f(x)在 [a,b]
上的曲边梯形的面积等于与该曲边梯形同底,以 f(?)为高的矩形面积
dxxfabf b
a
)(1)(?
例 1 比较积分值 和 的大小dxe x 2
0
dxx 2
0
解,令 f(x)=ex?x,x?[?2,0]
∵ f(x)>0
dxxdxe x

0
2
0
2
dxxdxe x 2
0
2
0
∴ ex>x
例 2 估计积分 的值 dx
x
0 3s i n3
1
解,
x
xf 3
s i n3
1)(
x?[0,?],有 0≤sin3x≤1
3
1
s i n3
1
4
1
3 x
dxdx
x
dx


00 30 3
1
s i n3
1
4
1
3s i n3
1
4 0 3

dx
x
例 3 设 f(x)可导,且,求 1)(lim?
xfx
解,
dttfttx
xx?

2 )(3s i nlim
由积分中值定理知,有[x,x+2],使
dttfttx
x?
2 )(3s i n
)2)((3s i n xxf
dttfttx
xx?

2 )(3s i nlim
)(3s i nlim2
f

)(3l i m2?
f
=6