§ 2 线性方程组的解法
§ 2.1 克拉默法则我们已经知道,在一定条件下,二元
(或三元 ) 线性方程组的解可以用二阶
(或三阶 )行列式表示出来,那么,对于 n元线性方程组能否用 n阶行列式来表示?




nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa

2211
22222121
11212111
定理 (克拉默法则 ) 如果线性方程组的系数行列式
0
21
22221
11211

nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D

那么该线性方程组有且仅有唯一解,
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n,,,
2
2
1
1?
其中 Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式 D中第 j列的元素用方程组右端的常数项替换后得到的 n阶行列式,即
nnjnnjnn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
D




1,1,1
21,221,221
11,111,111



定理中包含 三个结论,
(1)方程组有解
(2)解是唯一的
(3)解由公式
D
D
x jj?
( j=1,2,...,n)给出注,用克拉默法则解线性方程组必须有两个前提条件,
(1)未知数个数等于方程个数
(2)系数行列式 D?0
例 1 解线性方程组




0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解,方程组的系数行列式
6741
2120
6031
1512

D =27?0
由克拉默法则知,方程组有唯一解
6740
2125
6039
1518
1


D =81
=?108
6701
2150
6091
1582
2

D
D
Dx 1
1
27
81? =3
D
Dx 2
2
27
108 =?4
6041
2520
6931
1812
3

D =?27
0741
5120
9031
8512
4

D =27
D
Dx 3
3
27
27 =?1
D
Dx 4
4
27
27? =1
§ 2.2 消元法一些方程组不能同时满足未知数个数等于方程个数和系数行列式 D?0
两个条件,也就不能用克拉默法则采用 高斯消元法 求解任意多个方程任意多个未知数的线性方程组,其思想方法,自上而下依次减少方程组中各方程中未知数的个数,使之成为 阶梯形例 2 解线性方程组



257
3352
17823
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解,(1)对换第一个方程与第三个方程的位置



17823
3352
257
321
321
321
xxx
xxx
xxx
(2)把第一个方程的?2倍 加到第二个方程,
将第一个方程的 3倍加第三个方程



232323
11319
257
32
32
321
xx
xx
xxx
(3)用
23
1 乘第三个方程



1
11319
257
32
32
321
xx
xx
xxx
(4)对换第二个方程和第三个方程的位置



11319
1
257
32
32
321
xx
xx
xxx
(5)把第二个方程的 19倍加到第三个方程



186
1
257
3
32
321
x
xx
xxx
(6)用
6
1? 乘第三个方程



3
1
257
3
32
321
x
xx
xxx
(7)把第三个方程加到第二个方程



3
2
257
3
2
321
x
x
xxx
(8)把第三个方程的 5倍加到第一个方程,
将第二个方程的?7倍加到第一个方程


3
2
1
3
2
1
x
x
x
以上各方程组都是同解方程组这个解法就是高斯消元法
(1)至 (5)是 消元过程,(6)至 (8)是 回代过程用消元法解线性方程组,实际上是进行以下三种运算,
(1)用一非零的数乘某一方程
(2)互换两个方程的位置
(3)把某一方程的倍数加到另一个方程这三种运算称为 线性方程组的初等变换