第六章 求总量的问题 —— 定积分
§ 1 特殊和式的极限
—— 定积分的概念
§ 1.1 抽象定积分概念的两个现实原型
1.求曲边梯形的面积
2.求变力所作的功
y=f(x)
a b
原型 1,求曲边梯形的面积如图,曲边梯形由连续曲线 y=f(x)
( f(x)≥0),x轴与两条直线 x=a,x=b所围成
o x
y
S=?
y
xa bo
y
xa bo
用矩形面积近似代替曲边梯形面积
(四个小矩形 ) (九个小矩形 )
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系
b
y
xao
如图,在区间 [a,b]内插入 n?1个分点
a=x0<x1<x2<,..<xn?1<xn=b
x1 xi?1 xi xn?1
把区间 [a,b]分成 n
个小区间 [xi?1,xi],
长度为?xi=xi?xi?1
在每个小区间 [xi?1,
xi]上任取一点?i?i
以 [xi?1,xi]为底,f(?i)为高的小矩形面积为
Si=f(?i)?xi
曲边梯形面积的近似值为

n
i
ii xfS
1
)(?
当分割无限加细,即小区间的最大长度?=max{?x1,?x2,...,?xn}?0时,
曲边梯形面积为,


n
i
ii xfS
10
)(lim?
原型 2 求变力所作的功
o
m F
xba
设质点 m受水平力 F的作用沿 x轴由点 a移动到点 b
若 F是常量,则它对质点所作的功为,
W=F(b?a)
若 F不是常量,而是质点所在位置 x的连续函数 F=F(x),如何求对质点所作的功?
(1)分割 a=x0<x1<x2<,..<xn?1<xn=b
xi=xi?xi?1?Wi=F(?i)?xi
(2)近似求和



n
i
ii
n
i
i xFWW
11
)(?
(3)取极限?=max{?x1,?x2,...,?xn}


n
i
ii xFW
10
)(l i m?