§ 1.2 中值定理 (拉格朗日 )
一、拉格朗日中值定理二、罗尔定理拉格朗日中值定理如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间 [a,b]上连续
(2)在开区间 (a,b)内可导那么在开区间 (a,b)内至少存在一点?,
使得
)()()(?fab afbf ((a,b))
此公式称为 拉格朗日公式
D
2
几何解释,
A
y
o xa b
By=f(x)C
1
在曲线弧 AB上至少有一点 C,在该点处的切线平行于弦 AB
)()()(?fab afbf
)()()(?fab afbf
函数在区间 [a,b]
上整体变化的平均变化率内点?处函数的局部变化率可见,拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系如果函数 f(x)在区间 (a,b)内的导数恒为零,那么 f(x)是区间 (a,b)内的常数函数推论,
[证 ] 设 x1,x2是 (a,b)内的任意两点且 x1<x2
∵ f(x)在 (a,b)内可导
∴ f(x)在 [x1,x2]内连续,在 (x1,x2)内可导由拉格朗日定理,有
,即 导数为零的函数是常数函数
)()()(
12
12?f
xx
xfxf
由已知有,f?(?)=0
则 f(x1)=f(x2)
由 x1,x2的任意性,
f(x)是 (a,b)内的常数函数罗尔定理如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间 [a,b]上连续
(2)在开区间 (a,b)内可导那么在开区间 (a,b)内至少存在一点?,
使得 f?(?)=0
(3) f(a)=f(b)
几何解释,
C
在曲线弧 AB上至少有一点 C,在该点处的切线是水平的
1
D
2
A
y
o xa b
B
y=f(x)
)()()(?fab afbf
例 1 证明 arcsinx+arccosx =
2
(?1≤ x≤ 1)
[证 ] 设 f(x)=arcsinx+arccosx,x?[?1,1]
)
1
1(
1
1)(
22 xx
xf
=0
∴ f(x)?C,x?(?1,1)
又 f(0)=arcsin0+arccos0
2
2
C
2a r c c o sa r c s i n
xx
(x?(?1,1))
f(?1)=arcsin(?1)+arccos(?1)
2
例 2 已知,应用罗尔定理,证明方程 a0+a1x+a2x2+...+anxn=0
在 (0,1)内至少有一实根
[证 ] 设则 f(x)在 [0,1]连续且 f(0)=0,f(1)=0
(0,1),使 f?(?)=0
0132 210 n aaaa n?
13221
0 132)(
nn x
n
axaxaxaxf?
,在 (0,1)内可导由罗尔定理,有即 a0+a1?+a2?2+...+an?n=0 命题得证例 3 证明方程 x5?5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根
[证 ] 设 f(x)=x5?5x+1,则 f(x)在 [0,1]连续且 f(0)=1,f(1)=?3
由根的存在定理,有
x0?(0,1),使 f(x0)=0
设另有 x1?(0,1),x1?x0,使 f(x1)=0
∵ f(x)在 x0,x1之间满足罗尔定理的条件
∴ 至少存在一个(x0,x1),使得 f?(?)=0
即 f(x)在 [x0,x1]上连续,
在 (x0,x1)内可导,
且 f(x0)=f(x1)
但 f?(x)=5(x4?1)<0 (x?(0,1))
矛盾则只有唯一实根
一、拉格朗日中值定理二、罗尔定理拉格朗日中值定理如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间 [a,b]上连续
(2)在开区间 (a,b)内可导那么在开区间 (a,b)内至少存在一点?,
使得
)()()(?fab afbf ((a,b))
此公式称为 拉格朗日公式
D
2
几何解释,
A
y
o xa b
By=f(x)C
1
在曲线弧 AB上至少有一点 C,在该点处的切线平行于弦 AB
)()()(?fab afbf
)()()(?fab afbf
函数在区间 [a,b]
上整体变化的平均变化率内点?处函数的局部变化率可见,拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系如果函数 f(x)在区间 (a,b)内的导数恒为零,那么 f(x)是区间 (a,b)内的常数函数推论,
[证 ] 设 x1,x2是 (a,b)内的任意两点且 x1<x2
∵ f(x)在 (a,b)内可导
∴ f(x)在 [x1,x2]内连续,在 (x1,x2)内可导由拉格朗日定理,有
,即 导数为零的函数是常数函数
)()()(
12
12?f
xx
xfxf
由已知有,f?(?)=0
则 f(x1)=f(x2)
由 x1,x2的任意性,
f(x)是 (a,b)内的常数函数罗尔定理如果函数 f(x)满足
(1)在闭区间 [a,b]上连续
(2)在开区间 (a,b)内可导那么在开区间 (a,b)内至少存在一点?,
使得 f?(?)=0
(3) f(a)=f(b)
几何解释,
C
在曲线弧 AB上至少有一点 C,在该点处的切线是水平的
1
D
2
A
y
o xa b
B
y=f(x)
)()()(?fab afbf
例 1 证明 arcsinx+arccosx =
2
(?1≤ x≤ 1)
[证 ] 设 f(x)=arcsinx+arccosx,x?[?1,1]
)
1
1(
1
1)(
22 xx
xf
=0
∴ f(x)?C,x?(?1,1)
又 f(0)=arcsin0+arccos0
2
2
C
2a r c c o sa r c s i n
xx
(x?(?1,1))
f(?1)=arcsin(?1)+arccos(?1)
2
例 2 已知,应用罗尔定理,证明方程 a0+a1x+a2x2+...+anxn=0
在 (0,1)内至少有一实根
[证 ] 设则 f(x)在 [0,1]连续且 f(0)=0,f(1)=0
(0,1),使 f?(?)=0
0132 210 n aaaa n?
13221
0 132)(
nn x
n
axaxaxaxf?
,在 (0,1)内可导由罗尔定理,有即 a0+a1?+a2?2+...+an?n=0 命题得证例 3 证明方程 x5?5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根
[证 ] 设 f(x)=x5?5x+1,则 f(x)在 [0,1]连续且 f(0)=1,f(1)=?3
由根的存在定理,有
x0?(0,1),使 f(x0)=0
设另有 x1?(0,1),x1?x0,使 f(x1)=0
∵ f(x)在 x0,x1之间满足罗尔定理的条件
∴ 至少存在一个(x0,x1),使得 f?(?)=0
即 f(x)在 [x0,x1]上连续,
在 (x0,x1)内可导,
且 f(x0)=f(x1)
但 f?(x)=5(x4?1)<0 (x?(0,1))
矛盾则只有唯一实根
