§ 3.3 函数的最大值和最小值步骤,
1.求驻点和不可导点
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小就是最小值注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值最值的求法,
例 1 求函数 y=2x3+3x2?12x+14在 [?3,4]上的最大值与最小值解,f?(x)=6x2+6x?12 =6(x+2)(x?1)
解方程 f?(x)=0?x1=?2,x2=1
计算得,f(?3)=27 f(4)=142
f(?2)=34 f(1)=7
比较得,最大值 f(4)=142
最小值 f(1)=7
y=2x3+3x2?12x+14的图形,
例 2 某房地产公司有 50套公寓要出租,当租金定为每月 180 元时,公寓会全部租出去,当租金每月增加 10元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费 20
元的整修维护费,试问房租定为多少可获得最大收入?
解,设房租为每月 x元租出去的房子有
10
1 8 050 x 套每月总收入为,
)10 18050)(20()( xxxR
)1068)(20()( xxxR
)101)(20()1068()( xxxR
570
x
令 R?(x)=0?x =350 为唯一驻点故每月每套租金为 350元时收入最高最大收入为 R(350)
)1035068)(20350(
=10890 (元 )
R(350)=
5
1? <0?R(350)为极大值实际问题求最值,
(1)建立目标函数
(2)求最值若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最值
T
x
y
o
P
A
B
C
例 3 由直线 y=0,x=8及抛物线 y=x2围成一个曲边三角形,在曲边 y=x2上求一点,
使曲线在该点处的切线与直线 y=0,x=8
所围成的三角形面积最大解,如图,
设所求切点为 P(x0,y0)
则切线 PT为,
y?y0=2x0(x?x0)
y=x2?y?=2x
T
x
y
o
P
A
B
C
y?y0=2x0(x?x0)
∵ y0=x02
∴ A
)0,21( 0x
C(8,0) B(8,16x0?x02)
)16)(218(21 2000 xxxS ABC
(x0?[0,8])
令 S?=0
0431664 200 xx
3
0
2
00 4
1864 xxx
解得,
16,316 00 xx
(舍去 )
3
162
4
316)
3
16(S =?8 <0
2 1 7
4 0 9 6)
3
16( S 为极大值故
217
4096)
3
16(?S
为所求的最大面积对应的点为
)9256,316(P