§ 3.2 函数的极值可导函数 的极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点如何判别驻点和不可导点是否为极值点判别法则 1 (第一充分条件 )
(1)如果 x?(x0,x0),有 f?(x)>0,
而 x?(x0,x0+? ),有 f?(x)<0,
则 f(x)在 x0处取得极大值
(2)如果 x?(x0,x0),有 f?(x)<0,
而 x?(x0,x0+? ),有 f?(x)>0,
则 f(x)在 x0处取得极小值
(3)如果 x?(x0,x0)及 x?(x0,x0+? )时,
f?(x)符号相同,则 f(x)在 x0处无极值
x0
y
o x
+
+
+?
y
o xx0 x0
y
o x
+?
极大值 极小值
x0
y
o x
不是极值 不是极值求极值的步骤,
(1)求导数 f?(x)
(2)求驻点及不可导点
(3)检查 f?(x)在驻点及不可导点左右的正负性判别极值点
(4)求极值例 1 求函数 f(x)=x3?3x2?9x+5的极值解,f?(x)=3x2?6x?9 =3(x+1)(x?3)
令 f?(x)=0?驻点 x1=?1,x2=3
x
f?(x)
f (x)
(,?1)?1 (?1,3) 3 (3,+?)
0+ +? 0

极大值极小值
∴ 极大值 f(?1)=10 极小值 f(3)=?22
f(x)=x3?3x2?9x+5的图形,
例 2 求出函数 f(x)=1? 的极值32)2(?x
解,
3
1
)2(32)( xxf
当 x=2时,
当 x<2时,
f?(x)不存在
f?(x)>0
当 x>2时,f?(x)<0
∴ f(2)=1为 f(x)的极大值判别法则 2 (第二充分条件 )
设 f(x)在 x0处具有二阶导数,且
f?(x0)=0,那么
(1)当 f(x0)<0时,则 f(x0)是极大值
(2)当 f(x0)>0时,则 f(x0)是极小值
(3)当 f(x0)=0时,则不能判别 f(x0)是否为极值,改用判别法则 1
证明结论 (1):
[证 ](1)
x
xfxxfxf
x?


)()(lim)( 00
00
<0
由极限的局部保号性知,
在 x0左右近旁,f?(x0+?x)?f?(x0)与?x异号当?x<0时,f?(x0+?x)>f?(x0) =0
当?x>0时,f?(x0+?x)<f?(x0) =0
故,函数 f(x)在 x0处取得极大值例 3 求函数 f(x)=x3+3x2?24x?20的极值解,f?(x)=3x2+6x?24 =3(x+4)(x?2)
令 f?(x)=0?驻点 x1=?4,x2=2
f(x)=6x+6
f(?4)=?18<0?极大值 f(?4)=60
f(2)=18>0?极小值 f(2)=?48
f(x)=x3+3x2?24x?20的图形,