§ 4 利用导数研究函数的图像
—— 曲线的绘制
§ 4.1 曲线的弯曲方向 —— 凹凸性问题,如何研究曲线的弯曲方向?
y
o x
y=f(x)
图形上任意弧段位于所张弦下方
y
o x
y=f(x)
图形上任意弧段位于所张弦上方
x1 x2
A
B
x1 x2
A
B
AB是凹弧
(
AB是凸弧
(
凹凸的定义
y
o x
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点
B
b
A
C
a c
(a,b)为凸区间
(b,c)为凹区间
B为曲线 AC的拐点
y
o x
y=f(x)
凹凸的判别
y=f(x)y
o x
A
B
a b
A
a
B
b
f?(x)递增
y>0
f?(x)递减
y<0
凹,凸,
如果 f(x)在 [a,b]上连续,在 (a,b)内具有二阶导数,若在 (a,b)内
(1) f(x)>0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凹的
(2) f(x)<0,则 f(x)在 [a,b]上的图形是凸的在拐点 B处的二阶导数为零
y
o x
B
b
A
C
a c
定理,
在拐点处 f(x)变号若 f(x0)=0或不存在,两侧的 f(x)异号,
则 x0是拐点例 1 判断曲线 y=x3的凹凸性解,y?=3x2
y=6x
当 x<0时,y<0
曲线在 (,0]是凸的当 x>0时,y>0
曲线在 [0,+?)是凹的点 (0,0)是曲线由凸变凹的拐点例 2 求曲线 y= 的拐点3 x
解,
3
2
3
1 xy
当 x=0时,y?和 y都 不存在
3
5
9
4 xy
当 x<0时,y>0?曲线在 (,0]上是凹的当 x>0时,y<0?曲线在 [0,+?)上是凸的所求拐点为 (0,0)
例 3 求曲线 y=3x4?4x3+1的拐点及凹、凸的区间解,y?=12x3?12x2
)32(36 xx
y=36x2?24x
令 y=0
3
2,0
21 xx
x
f(x)
f (x)
(,0) 0 (0,2/3) 2/3 (2/3,+?)
+ 0? 0 +
凹 拐点拐点
(0,1) )
27
11,
3
2(
凹凸所求凹区间为,
),32()0,(
凸区间为,
]32,0[