§ 1.2 定积分的概念分割、近似求和、取极限设函数 f(x)在 [a,b]上有界,用点 a=x0
<x1<x2<,..<xn?1<xn=b将 [a,b]分割成 n个子区间,各子区间的长度为?xi=xi?xi?1
(i=1,2,...,n).在每个子区间 上任取一点?i
(?ixi),作乘积 f(?i)?xi的和式
n
i
ii xf
1
)(?
定积分的定义记?=max{?xi},当0时,
n
i
ii xf
1
)(?
的极限存在,并且其极限值与 [a,b]的分法以及?i的取法无关,则该极限值称为函数
f(x)在区间 [a,b]上的 定积分,记作
dxxfb
a?
)(
即积分号被积函数被积表达式积分变量
[a,b]:积分区间积分元素积分和积分上限积分下限



n
i
ii
b
a
xfdxxf
10
)(lim)(?
注意,
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分变量的字母无关
dxxfb
a?
)( dttfb
a?
)( duuf
b
a?
)(
(2)定义中区间的分法和?i的取法是任意的
(3)当函数 f(x)在区间 [a,b]上的定积分存在时,称 f(x)在区间 [a,b]上 可积,否则 不可积定积分的几何意义
f(x)>0,
Sdxxfb
a
)(
曲边梯形的面积
f(x)<0,
Sdxxfb
a
)(
曲边梯形的面积的负值
x
y
S1 S
2
S3
S4
4321)( SSSSdxxf
b
a



几何意义,
它是介于 x轴、函数 f(x)的图形及其两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和,在 x轴上方的面积取正号 ;在 x轴下方的面积取负号例 1 利用定义计算定积分
dxx?1
0
2
解,将 [0,1]n等分分点为,
n
ix
i?
(i=1,2,...,n)
子区间 [xi?1,xi]的长度
nx i
1
(i=1,2,...,n)
取?i=xi,(i=1,2,...,n)
n
i
ii xf
1
)(

n
i
ii x
1
2

n
i
ii xx
1
2
n
i nn
i
1
2 1)(?
n
i
i
n 1
2
3
1
6
)12)(1(1
3
nnn
n
)12)(11(61 nn
(0?n)
dxx?1
0
2?


n
i
ii x
1
2
0
lim?
)12)(11(61l i m nn
n


3
1?
§ 1.3 求定积分过程中的辩证思维
§ 1.4 可积条件定理 1(可积的必要条件 ) 若函数 f(x)在
[a,b]上可积,则 f(x)在 [a,b]上有界有,无界函数一定不可积有界函数不一定可积定理 2(可积的充分条件 ) 若 f(x)是闭区间
[a,b]上的连续函数,或者是闭区间 [a,b]上的单调函数,或者是 [a,b]上只有有限个间断点的有界函数,则 f(x)在 [a,b]上可积