§ 2.2 分部积分法问题,
dxxe x
解决思路,利用两个函数乘积的求导法则
(uv)?=u?v+uv?
uv?=(uv)u?v
dxvuuvdxvu
duvuvdvu 分部积分公式例 1 求积分
dxxx? c o s
解,令 u=cosx,
dvdxxdx 221
原式 =
dxxxxx s i n2co s2
22
可见,u,v?选择不当,积分更难进行解,令 u =x,cosxdx =dsinx =dv
原式 =
xdx s i n? dxxxx s i ns i n
=xsinx+cosx+C
例 2 求积分
dxex x? 2
解,令 u=x2,
原式 =
exdx=dex=dv
dxxeex xx 22
xx dexex 22
)(22 dxexeex xxx
=x2ex?2(xex?ex)+C
=(x2?2x+2)ex+C
例 3 求积分
dxxx? a r c t a n
解,原式 =
2a r c t a n
2x
dx?
)( a rct a n2a rct a n2
22
xdxxx
dx
x
xxx?
2
22
12
1a r c t a n
2
dx
x
xx?
)
1
11(
2
1a r c t a n
2 2
2
Cxxxx )a r c t a n(21a r c t a n2
2
例 4 求积分
dxxx? ln3
解,原式 =
4ln
4x
dx?
dxxxxx 141ln4 4
4
dxxxx 3
4
4
1ln
4
Cxxx 44 161ln41
例 5 求积分
dxx? )s in ( ln
解,原式 =
)][ s in ( ln)s in ( ln xdxxx
dxxxxxx 1)c o s ( l n)s i n ( l n
dxxxx )c o s ( ln)s i n ( ln
)][ c o s ( ln)c o s ( ln)s in ( ln xdxxxxx
dxxxxx )s in ( ln)]c o s ( ln)[ s in ( ln
∴ 原式 =
Cxxx )]c o s ( l n)[ s i n ( l n2
例 6 求积分
dxxe x? s i n
解,原式 =
xdex? s i n
)( s i ns i n xdexe xx
x d xexe xx c o ss i n
xx dexxe c o ss i n
)]( c o sc o s[s in xdexexe xxx
dxxexxe xx s in)c o s( s in
∴ 原式 =
Cxxe
x
)co s( s i n2
例 7 求积分
dx
x
xx?
21
a r c t a n
解,原式 =
21a r c t a n xdx
)( a r c t a n1a r c t a n1 22 xdxxx
dx
x
xxx?
222
1
11a rct a n1
dx
x
xx?

2
2
1
1a r c t a n1
2
212
a r c t a n dx
x
x?
dx
x 21
1 dtt
t
2
2
s e c
t a n1
1
(令 x=tant)
dtt s e c
=ln|sect+tant|+C
Cxx |1|ln 2
∴ 原式 =
Cxxxx |1|lna r c t a n1 22
例 8 已知 f(x)的一个原函数是,求2xe?
dxxfx )(
解,dxxfx )( )( xdfx
dxxfxxf )()(
)(])([ xfdxxf
Cedxxf x 2)(?
22 xxe
dxxfx )( Ceex
xx 2222