§ 3 变量连续变化的数学模型
—— 连续函数
§ 3.1 连续函数的概念和连续函数求极限的法则一、连续函数的概念函数的增量,
设函数 y=f(x)的定义域为 X,如图所示
x=x?x0,称为自变量在点 x0的 增量
x
y
0 0x xx0
)( xfy?
x?
yy=f(x)?f(x0)
或?y=f(x0+?x)?f(x0)
称为函数的 增量设函数 f(x)在点 x0及其邻域有定义,当 x?x0时 f(x)的极限存在,且等于该点处的函数值 f(x0),即定义 1
则称函数 f(x)在点 x0处 连续,x0称为函数
f(x)的 连续点如果函数在某一区间的任意一点都连续,则称此函数是该区间上的 连续函数
)()(lim 0
0
xfxfxx
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线例 1 证明函数
0,0
0,1s i n
)(
x
x
x
x
xf
在 x=0处连续
[证 ]
01s i nlim
0
x
x
x
又 f(0)=0 则
)0()(l i m0 fxfx
由定义 1知,函数 f(x)在 x=0处连续
,则称函数 f(x)在点 x0处 连续设函数 f(x)在点 x0及其邻域有定义,当?x=x?x0?0时,?y=f(x)?f(x0)?0,
即定义 2
0l i m0 yx
函数在一点处连续的本质特征,
自变量变化很小时,函数值的变化也很小例 2 证明正弦函数 y=sinx在区间 (,+?)
内连续
[证 ] 任取 x?(,+?)
y=sin(x+?x)?sinx
)2c o s (2s i n2 xxx
1)2co s ( xx? 2s i n2
xy
,当0时,有 |sin?|<?
当?x?0时,?y?0
|?y|<|?x|
,即 sinx在点 x处连续由 x的任意性,命题得证二、函数的间断点由定义 1,函数 f(x)在点 x0处连续应同时满足三个条件：
(1) f(x)在点 x0处有定义
(2)
)(lim
0
xfxx?
存在
(3)
)()(lim 0
0
xfxfxx
如果这三个条件至少有一个不满足,则称函数 f(x)在点 x0间断,x0称为函数的 间断点例如,函数
xy
1? 在 x=0处无定义所以 x=0是该函数的间断点另,第二个条件可以用“左、右极限存在且相等”来代替,用于讨论分段函数的连续性例 3 讨论函数
0,1
0,
)(
xx
xx
xf
在 x=0处的连续性
o x
y
解：
0)(lim
0
xf
x
1)(lim
0
xf
x
左、右极限存在但不相等,故
)(l i m0 xfx?
不存在即该函数在 x=0处间断或 f(x)在点 x0处无定义,则称 点 x0为函数 f(x)的可去间断点间断点的类型
1.跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0左、右极限都存在,但,则称点 x0
为函数 f(x)的跳跃间断点如例 3
2.可去间断点 如果 f(x)在点 x0处的极限存在,但
)()(lim 0
0
xfAxfxx
)(l i m)(l i m
00
xfxf
xxxx
跳跃间断点与可去间断点统称为 第一类间断点特点,函数在点 x0处的左、右极限都存在第一类间断点 o
y
x
跳跃型
0x
可去型
o
y
x0x
第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在,则称 点 x0为函数 f(x)的第二类间断点
o
y
x
无穷型 振荡型第二类间断点
o
y
x0x
三、连续函数求极限的法则设函数 f(x)在点 x0处连续,则
)()(lim 0
0
xfxfxx
0
0
lim xxxx
)lim()()(lim
00
0 xfxfxf xxxx
连续函数求极限的法则,连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值（极限符号可以与函数符号互换）
例 4 求
xx c o sl i m
解,函数 cosx在点 x=?处连续,则
)l i mc o s (c o sl i m xx xx
=cos? =?1
例 5 求
x
x
x
)1l n (l i m
0
解：
x
x
x
1
0
)1l n (l i m?
原式 =
])1(l i ml n [
1
0
x
x
x
=lne =1
—— 连续函数
§ 3.1 连续函数的概念和连续函数求极限的法则一、连续函数的概念函数的增量,
设函数 y=f(x)的定义域为 X,如图所示
x=x?x0,称为自变量在点 x0的 增量
x
y
0 0x xx0
)( xfy?
x?
yy=f(x)?f(x0)
或?y=f(x0+?x)?f(x0)
称为函数的 增量设函数 f(x)在点 x0及其邻域有定义,当 x?x0时 f(x)的极限存在,且等于该点处的函数值 f(x0),即定义 1
则称函数 f(x)在点 x0处 连续,x0称为函数
f(x)的 连续点如果函数在某一区间的任意一点都连续,则称此函数是该区间上的 连续函数
)()(lim 0
0
xfxfxx
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线例 1 证明函数
0,0
0,1s i n
)(
x
x
x
x
xf
在 x=0处连续
[证 ]
01s i nlim
0
x
x
x
又 f(0)=0 则
)0()(l i m0 fxfx
由定义 1知,函数 f(x)在 x=0处连续
,则称函数 f(x)在点 x0处 连续设函数 f(x)在点 x0及其邻域有定义,当?x=x?x0?0时,?y=f(x)?f(x0)?0,
即定义 2
0l i m0 yx
函数在一点处连续的本质特征,
自变量变化很小时,函数值的变化也很小例 2 证明正弦函数 y=sinx在区间 (,+?)
内连续
[证 ] 任取 x?(,+?)
y=sin(x+?x)?sinx
)2c o s (2s i n2 xxx
1)2co s ( xx? 2s i n2
xy
,当0时,有 |sin?|<?
当?x?0时,?y?0
|?y|<|?x|
,即 sinx在点 x处连续由 x的任意性,命题得证二、函数的间断点由定义 1,函数 f(x)在点 x0处连续应同时满足三个条件：
(1) f(x)在点 x0处有定义
(2)
)(lim
0
xfxx?
存在
(3)
)()(lim 0
0
xfxfxx
如果这三个条件至少有一个不满足,则称函数 f(x)在点 x0间断,x0称为函数的 间断点例如,函数
xy
1? 在 x=0处无定义所以 x=0是该函数的间断点另,第二个条件可以用“左、右极限存在且相等”来代替,用于讨论分段函数的连续性例 3 讨论函数
0,1
0,
)(
xx
xx
xf
在 x=0处的连续性
o x
y
解：
0)(lim
0
xf
x
1)(lim
0
xf
x
左、右极限存在但不相等,故
)(l i m0 xfx?
不存在即该函数在 x=0处间断或 f(x)在点 x0处无定义,则称 点 x0为函数 f(x)的可去间断点间断点的类型
1.跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0左、右极限都存在,但,则称点 x0
为函数 f(x)的跳跃间断点如例 3
2.可去间断点 如果 f(x)在点 x0处的极限存在,但
)()(lim 0
0
xfAxfxx
)(l i m)(l i m
00
xfxf
xxxx
跳跃间断点与可去间断点统称为 第一类间断点特点,函数在点 x0处的左、右极限都存在第一类间断点 o
y
x
跳跃型
0x
可去型
o
y
x0x
第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在,则称 点 x0为函数 f(x)的第二类间断点
o
y
x
无穷型 振荡型第二类间断点
o
y
x0x
三、连续函数求极限的法则设函数 f(x)在点 x0处连续,则
)()(lim 0
0
xfxfxx
0
0
lim xxxx
)lim()()(lim
00
0 xfxfxf xxxx
连续函数求极限的法则,连续函数在连续点处的极限值等于函数在该点处的函数值（极限符号可以与函数符号互换）
例 4 求
xx c o sl i m
解,函数 cosx在点 x=?处连续,则
)l i mc o s (c o sl i m xx xx
=cos? =?1
例 5 求
x
x
x
)1l n (l i m
0
解：
x
x
x
1
0
)1l n (l i m?
原式 =
])1(l i ml n [
1
0
x
x
x
=lne =1
