§ 1.4 复合函数设 z=lny,y=x?1
当 x在 (1,+?)上时,y=x?1>0
由中间变量 y的传递生成新函数 z=ln(x?1)
变量 z与 x建立了对应关系,称 z是 x的复合函数设函数 y=f(u),u?U,u=?(x),x?X,
且由 x?X确定的函数值 u=?(x)落在函数
y=f(u)的定义域 U内,则 y=f [?(x)]称为 复合函数,u称为 中间变量,u=?(x)称为 里层函数,y=f(u)称为 外层函数定义例如,21 xy 是由函数 uy?
和函数 u=1?x2复合而成的注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的例如,y=arcsinu,u=2+x2 y?arcsin(2+x2)
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成例如,
2c o t
xy?
是由
uy?
,u=cotv,
2
xv? 复合而成,u和 v都是中间变量分解的各层函数依次为,
把一个复合函数分成不同层次的函数,叫做 复合函数的分解分解步骤,由外向里例如,)1l n (a r c s i n 2xy
y=arcsinu vu? v=lnp p=1+x2
分解准则,各层函数为基本初等函数或者多项式例 1 设
xxf 1
1)(
,求 f[f(x)]
解,
)(1
1)]([
xfxff
x?
1
11
1 xx 1
定义域为,(,0)∪ (0,1)∪ (1,+?)

0,
0,
)(
)(
2
1
)(
2
xx
xx
xg
xxxf例 2 设
,求 f[g(x)],g[f(x)]
解,f[g(x)]= ])()([
2
1 xgxg?
=
,x<0
)(21 xx?
=0
,x≥ 0
)(21 22 xx?
=x2
g[f(x)]=
,f(x)<0
,f(x)≥ 0[f(x)]2
f(x)
f(x)=
,x<0
)(21 xx?
=0
,x≥ 0
)(21 xx?
=x
f(x)≥0
g[f(x)]=[f(x)]2 =
,x<00
,x≥ 0x2