§ 3 习题课一、主要内容二、例题
（一）导数
（二） 微分一、主要内容设函数 y=f(x)在点 x0的某一邻域内有定义,当自变量 x在点 x0处有增量?x
(点 x0+?x仍在该邻域内 )时,相应地函数有增量?y=f(x0+?x)?f(x0),如果导数的定义存在,则称该极限值为 f(x)在点 x0处的导数,
记作 f?(x0),或
0xx
y
x
xfxxf
x
y
xx?
)()(limlim 00
00
或
0xx
dx
dy
或
0
)(
xx
dx
xdf
导数的意义物理意义,变速直线运动物体的瞬时速度瞬时速度是路程对时间的导数,即
dt
dss
t
stv
t
0
lim)(
几何意义,曲线 y=f(x)在点 x0处的切线斜率
dx
dyxf )(t a n?
o x
y )(xfy?
T
0x
M
步骤,
(1)求增量?y=f(x+?x)?f(x)
(2)求比值
x
xfxxf
x
y
)()(
(3)求极限
x
yy
x?
0
l i m
由定义求导数单侧导数左导数,
0
0
0
)()(l i m)(
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0
右导数,
0
0
0
)()(l i m)(
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0
函数 y=f(x)在点 x0可导?函数 y=f(x)
在点 x0处的左、右导数存在且相等可导与连续的关系即 可导则连续如果函数 y=f(x)在点 x处可导,则 f(x)
在点 x处连续,
注意,该定理的逆定理不成立,
高阶导数二阶和二阶以上的导数叫做 高阶导数导数 f?(x)的导数称为 f(x)的 二阶导数,记作 f(x),y或
2
2
dx
yd
一般地,y=f(x)的 n?1阶 导数 的导数称为 y=f(x)的 n阶 导数,记作 f (n)(x),y(n)或
n
n
dx
yd
求导法则
)0)(( )( 2 xvv vuvuvu
(1) [u?v]?=uv? (2) (uv)?=u?v+uv?
(4)
1.函数和、差、积、商的求导法则设 u=u(x),v=v(x)可导,则
2.反函数的求导法则如果函数 x=?(y)的反函数为 y=f(x),则有
)(
1)(
yxf
(3) (Cv)?=Cv?
3.复合函数的求导法则设 y=f(u),而 u=?(x),则复合函数 y=f[?(x)]
的导数为,
dx
du
du
dy
dx
dy?
4.隐函数的求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导
5.对数求导法先对等式两边取对数,然后根据隐函数的求导法求出导数
6.参变量函数的求导法则确定 y与 x间的函数关系,则有若参数方程
)(
)(
tfy
tx?
dt
dx
dt
dy
dx
dy
)(
)(
t
tf
基本导数公式
(C)?=0
(x?)?=?x1
axxa ln
1)( l o g
xx
1)( l n
(ax)?=axlna
(ex)?=ax
(sinx)?=cosx
(cosx)?=?sinx
(tanx)?=sec2x
(cotx)?=?csc2x
(secx)?=secxtanx
(cscx)?=?cscxcotx
21
1)( a r c s i n
x
x
21
1)( a r c c o s
x
x
21
1)( a rct a n
x
x
21
1)co t( a rc
x
x
微分的定义设函数 y=f(x)在点 x处有增量?x,若相应的函数增量?y可表示成
y=A?x+o(?x),
其中 A与?x无关,A?x称为?y的 线性主部,
o(?x)是关于?x的 高阶无穷小,则称函数
y=f(x)在点 x可微,并称 A?x为函数 y=f(x)
在点 x处的 微分,记作 dy或 df(x),即
dy=df(x)=A?x
导数与微分的关系函数 f(x)在点 x可微?函数 f(x)在点 x
可导,且 A=f?(x)
y=dy+o(?x)=f?(x)dx+o(?x)
微分的求法
dy=y?dx
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分基本微分公式
d(C)=0
d(x?)=?x1dx
ax
dxxd
a ln)( l o g?
x
dxxd?)( l n
d(ax)=axlnadx
d(ex)=exdx
d(sinx)=cosxdx
d(cosx)=?sinxdx
d(tanx)=sec2xdx
d(cotx)=?csc2xdx
d(secx)=secxtanxdx
d(cscx)=?cscxcotxdx
21
)( a r c s i n
x
dxxd
21
)( a r c c o s
x
dxxd
21)( a rct a n x
dxxd
21)co t( a rc x
dxxd
微分的基本法则
d(u?v)=du?dv
d(uv)=vdu+udv
d(Cv)=Cdv
2)( v
u d vvd u
v
ud
2)
1(
v
dv
vd
dy=yu?ux?dx
微分在近似计算中的应用
y?dy=f?(x)?x
1.计算函数增量的近似值
f(x+?x)? f(x)+f?(x)?x
或 f(x0+?x)? f(x0)+f?(x0)?x
2.计算函数值的近似值二、典型例题例 1 设 f(x)=x(x?1)(x?2)...(x?100),求 f?(0)
解,
x
fxff
x?
)0()0(lim)0(
0
)100()2)(1(lim 0 xxxx?
=100!
例 2 设求 y?
解：
11
11ln
4
11a r c t a n
2
1
2
2
2
x
xxy
设
21 xu
,则
1
1ln
4
1a r c t a n
2
1
u
uuy
)1111(41
1
1
2
1
2 uuuy u
)]1l n ()1[ l n (41a r c t a n21 uuu
41
1
u?
42 )1(1
1
x
y u
24 21 xx
)1( 2 xu x
2
2
12
)1(
x
x
21 x
x
224 12
1
x
x
xx
y x
23 1)2(
1
xxx
例 3 设函数 y=f(x)由方程 (x>0,
y>0)所确定,求解,
yx xy?
2
2
dx
yd
两边取对数,得,
xyyx ln1ln1?
即 ylny=xlnx
xxxy
yyyy 1lnln
1ln
1ln
y
xy
y?lny+y?=lnx+1
)1ln 1ln( yxy
2)1( l n
)1) ( l n1( l n)1( l n)1( l n
y
yxyx
2)1( l n
1)1( l n)1( l n1
y
y
y
xy
x
3
22
)1( l n
)1( l n)1( l n
yxy
xxyy
例 4 设 f(x)=x|x(x?2)|,求 f?(x)
解,先去掉绝对值,得,
2 ),2(
20 ),2(
0 ),2(
)(
2
2
2
xxx
xxx
xxx
xf
当 x>2或 x<0时,f?(x)=3x2?4x
当 0<x<2时,f?(x)=?3x2+4x
当 x=0时,
0
)0()(l i m)0(
0?
x
fxff
x
x
xx
x
0)2(lim 2
0
=0
0
)0()(l i m)0(
0?
x
fxff
x
x
xx
x
0)2(lim 2
0
=0
f(0)=f?+(0)=0?f?(0)=0
当 x=2时,
2
)2()(l i m)2(
2?
x
fxff
x
2
0)2(lim 2
2?
x
xx
x
=?4
2
)2()(lim)2(
2?
x
fxff
x 2
)2(lim 2
2?
x
xx
x
=4
f(2)? f?+(2)?f(x)在 x=2处不可导
20,43
0,0
02,43
)(
2
2
xxx
x
xxxx
xf
或
（一）导数
（二） 微分一、主要内容设函数 y=f(x)在点 x0的某一邻域内有定义,当自变量 x在点 x0处有增量?x
(点 x0+?x仍在该邻域内 )时,相应地函数有增量?y=f(x0+?x)?f(x0),如果导数的定义存在,则称该极限值为 f(x)在点 x0处的导数,
记作 f?(x0),或
0xx
y
x
xfxxf
x
y
xx?
)()(limlim 00
00
或
0xx
dx
dy
或
0
)(
xx
dx
xdf
导数的意义物理意义,变速直线运动物体的瞬时速度瞬时速度是路程对时间的导数,即
dt
dss
t
stv
t
0
lim)(
几何意义,曲线 y=f(x)在点 x0处的切线斜率
dx
dyxf )(t a n?
o x
y )(xfy?
T
0x
M
步骤,
(1)求增量?y=f(x+?x)?f(x)
(2)求比值
x
xfxxf
x
y
)()(
(3)求极限
x
yy
x?
0
l i m
由定义求导数单侧导数左导数,
0
0
0
)()(l i m)(
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0
右导数,
0
0
0
)()(l i m)(
0 xx
xfxfxf
xx?
x
xfxxf
x?
)()(lim 00
0
函数 y=f(x)在点 x0可导?函数 y=f(x)
在点 x0处的左、右导数存在且相等可导与连续的关系即 可导则连续如果函数 y=f(x)在点 x处可导,则 f(x)
在点 x处连续,
注意,该定理的逆定理不成立,
高阶导数二阶和二阶以上的导数叫做 高阶导数导数 f?(x)的导数称为 f(x)的 二阶导数,记作 f(x),y或
2
2
dx
yd
一般地,y=f(x)的 n?1阶 导数 的导数称为 y=f(x)的 n阶 导数,记作 f (n)(x),y(n)或
n
n
dx
yd
求导法则
)0)(( )( 2 xvv vuvuvu
(1) [u?v]?=uv? (2) (uv)?=u?v+uv?
(4)
1.函数和、差、积、商的求导法则设 u=u(x),v=v(x)可导,则
2.反函数的求导法则如果函数 x=?(y)的反函数为 y=f(x),则有
)(
1)(
yxf
(3) (Cv)?=Cv?
3.复合函数的求导法则设 y=f(u),而 u=?(x),则复合函数 y=f[?(x)]
的导数为,
dx
du
du
dy
dx
dy?
4.隐函数的求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导
5.对数求导法先对等式两边取对数,然后根据隐函数的求导法求出导数
6.参变量函数的求导法则确定 y与 x间的函数关系,则有若参数方程
)(
)(
tfy
tx?
dt
dx
dt
dy
dx
dy
)(
)(
t
tf
基本导数公式
(C)?=0
(x?)?=?x1
axxa ln
1)( l o g
xx
1)( l n
(ax)?=axlna
(ex)?=ax
(sinx)?=cosx
(cosx)?=?sinx
(tanx)?=sec2x
(cotx)?=?csc2x
(secx)?=secxtanx
(cscx)?=?cscxcotx
21
1)( a r c s i n
x
x
21
1)( a r c c o s
x
x
21
1)( a rct a n
x
x
21
1)co t( a rc
x
x
微分的定义设函数 y=f(x)在点 x处有增量?x,若相应的函数增量?y可表示成
y=A?x+o(?x),
其中 A与?x无关,A?x称为?y的 线性主部,
o(?x)是关于?x的 高阶无穷小,则称函数
y=f(x)在点 x可微,并称 A?x为函数 y=f(x)
在点 x处的 微分,记作 dy或 df(x),即
dy=df(x)=A?x
导数与微分的关系函数 f(x)在点 x可微?函数 f(x)在点 x
可导,且 A=f?(x)
y=dy+o(?x)=f?(x)dx+o(?x)
微分的求法
dy=y?dx
求法,计算函数的导数,乘以自变量的微分基本微分公式
d(C)=0
d(x?)=?x1dx
ax
dxxd
a ln)( l o g?
x
dxxd?)( l n
d(ax)=axlnadx
d(ex)=exdx
d(sinx)=cosxdx
d(cosx)=?sinxdx
d(tanx)=sec2xdx
d(cotx)=?csc2xdx
d(secx)=secxtanxdx
d(cscx)=?cscxcotxdx
21
)( a r c s i n
x
dxxd
21
)( a r c c o s
x
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21)( a rct a n x
dxxd
21)co t( a rc x
dxxd
微分的基本法则
d(u?v)=du?dv
d(uv)=vdu+udv
d(Cv)=Cdv
2)( v
u d vvd u
v
ud
2)
1(
v
dv
vd
dy=yu?ux?dx
微分在近似计算中的应用
y?dy=f?(x)?x
1.计算函数增量的近似值
f(x+?x)? f(x)+f?(x)?x
或 f(x0+?x)? f(x0)+f?(x0)?x
2.计算函数值的近似值二、典型例题例 1 设 f(x)=x(x?1)(x?2)...(x?100),求 f?(0)
解,
x
fxff
x?
)0()0(lim)0(
0
)100()2)(1(lim 0 xxxx?
=100!
例 2 设求 y?
解：
11
11ln
4
11a r c t a n
2
1
2
2
2
x
xxy
设
21 xu
,则
1
1ln
4
1a r c t a n
2
1
u
uuy
)1111(41
1
1
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1
2 uuuy u
)]1l n ()1[ l n (41a r c t a n21 uuu
41
1
u?
42 )1(1
1
x
y u
24 21 xx
)1( 2 xu x
2
2
12
)1(
x
x
21 x
x
224 12
1
x
x
xx
y x
23 1)2(
1
xxx
例 3 设函数 y=f(x)由方程 (x>0,
y>0)所确定,求解,
yx xy?
2
2
dx
yd
两边取对数,得,
xyyx ln1ln1?
即 ylny=xlnx
xxxy
yyyy 1lnln
1ln
1ln
y
xy
y?lny+y?=lnx+1
)1ln 1ln( yxy
2)1( l n
)1) ( l n1( l n)1( l n)1( l n
y
yxyx
2)1( l n
1)1( l n)1( l n1
y
y
y
xy
x
3
22
)1( l n
)1( l n)1( l n
yxy
xxyy
例 4 设 f(x)=x|x(x?2)|,求 f?(x)
解,先去掉绝对值,得,
2 ),2(
20 ),2(
0 ),2(
)(
2
2
2
xxx
xxx
xxx
xf
当 x>2或 x<0时,f?(x)=3x2?4x
当 0<x<2时,f?(x)=?3x2+4x
当 x=0时,
0
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0?
x
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x
x
xx
x
0)2(lim 2
0
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)0()(l i m)0(
0?
x
fxff
x
x
xx
x
0)2(lim 2
0
=0
f(0)=f?+(0)=0?f?(0)=0
当 x=2时,
2
)2()(l i m)2(
2?
x
fxff
x
2
0)2(lim 2
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2
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2?
x
fxff
x 2
)2(lim 2
2?
x
xx
x
=4
f(2)? f?+(2)?f(x)在 x=2处不可导
20,43
0,0
02,43
)(
2
2
xxx
x
xxxx
xf
或
