第二章 微积分的研究对象
—— 函数、连续函数
§ 1 微积分的主要研究对象
—— 初等函数
§ 1.1 变量相依关系的数学模型
—— 函数常量与变量常量,在某过程中数值保持不变的量变量,数值变化的量函数就是刻画变量间在运动变化中相依关系的数学模型例 1 球的半径 r与该球的体积 V 互相联系
r?[0,+?)都对应一个球的体积 V
已知 r与 V之间的对应关系是：
3
3
4 rV
那么当半径 r在区间 [0,+?)上任意取定一个数值时,由上式就可以确定球体积
V的相应数值例 3?x?(?5,6]都对应一个数 y=3x2+x?1
即 x与 y之间的对应关系是,y=3x2+x?1
以上例子从数学角度看,有共同的特征,都有一个数集和一个对应关系,对于数集中任意数 x,按照对应关系都对应 R中一个确定的数,
例 2?x?R都对应一个数 y=sinx
即 x与 y之间的对应关系是,y=sinx
设 x和 y是两个变量,X是一个给定的数集,如果对于每个数 x?X,变量 y按照某个对应法则 f,都有唯一确定的值和它对应,
则称 y是 x的 函数,记作 y=f(x)
x的取值范围 X叫做函数的 定义域,
和 x的值对应的 y的值叫做 函数值,
函数值的集合 Y叫做函数的 值域因变量 自变量定义自变量因变量对应法则 f
函数的三要素,定义域、对应法则、值域
Xx x0
Y y f(x0)
( )
( )
如果对于确定的 x0?X,通过对应法则
f,因变量 y有唯一确定的实数值 y0相对应,
则称函数 y=f(x)在点 x0有定义,如果函数在某个区间上的每一点都有定义,则称这个函数在该区间上有定义
12 xy12 xy
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一个式子表示,而是在定义域的不同区段上由不同的式子来表示,这样的函数叫做 分段函数例如,
0,1
0,12
)(
2 xx
xx
xf
函数的特性
M
M
y
xo
y=f(x)
X
1．函数的有界性,
设定义域为 X,M为非负实数,若?x?X,
有 |f(x)|≤ M,则称 f(x)在 X内 有界
2．函数的单调性,
x
y
o
设定义域为 X,区间 I?X,如果对于区间 I上任意两点 x1及 x2,当 x1<x2时,有
f(x1)<f(x2),则称函数 f(x)在区间 I上 单调增加 y=f(x)
f(x1)
f(x2)
I
x
y
o
设定义域为 X,区间 I?X,如果对于区间 I上任意两点 x1及 x2,当 x1<x2时,有
f(x1)>f(x2),则称函数 f(x)在区间 I上 单调减少
y=f(x)
f(x1)f(x
2)
I
3．函数的奇偶性,
y
xo x?x
设定义域 X关于原点对称,若?x?X,
有 f(?x)=f(x),则称函数 f(x)为 偶函数
y=f(x)
f(?x) f(x)
y
xo x?x
设定义域 X关于原点对称,若?x?X,
有 f(?x)=?f(x),则称函数 f(x)为 奇函数
y=f(x)
f(?x)
f(x)
4．函数的周期性,
注,通常说周期函数的周期是指其最小正周期
2l? 2l23l? 23l
设定义域为 X,如果存在一个不为零的数 l,使得?x?X,有 (x?l)?X,且 f(x?l)=f(x),
则称函数 f(x)为 周期函数,l 称为 f(x)的周期
—— 函数、连续函数
§ 1 微积分的主要研究对象
—— 初等函数
§ 1.1 变量相依关系的数学模型
—— 函数常量与变量常量,在某过程中数值保持不变的量变量,数值变化的量函数就是刻画变量间在运动变化中相依关系的数学模型例 1 球的半径 r与该球的体积 V 互相联系
r?[0,+?)都对应一个球的体积 V
已知 r与 V之间的对应关系是：
3
3
4 rV
那么当半径 r在区间 [0,+?)上任意取定一个数值时,由上式就可以确定球体积
V的相应数值例 3?x?(?5,6]都对应一个数 y=3x2+x?1
即 x与 y之间的对应关系是,y=3x2+x?1
以上例子从数学角度看,有共同的特征,都有一个数集和一个对应关系,对于数集中任意数 x,按照对应关系都对应 R中一个确定的数,
例 2?x?R都对应一个数 y=sinx
即 x与 y之间的对应关系是,y=sinx
设 x和 y是两个变量,X是一个给定的数集,如果对于每个数 x?X,变量 y按照某个对应法则 f,都有唯一确定的值和它对应,
则称 y是 x的 函数,记作 y=f(x)
x的取值范围 X叫做函数的 定义域,
和 x的值对应的 y的值叫做 函数值,
函数值的集合 Y叫做函数的 值域因变量 自变量定义自变量因变量对应法则 f
函数的三要素,定义域、对应法则、值域
Xx x0
Y y f(x0)
( )
( )
如果对于确定的 x0?X,通过对应法则
f,因变量 y有唯一确定的实数值 y0相对应,
则称函数 y=f(x)在点 x0有定义,如果函数在某个区间上的每一点都有定义,则称这个函数在该区间上有定义
12 xy12 xy
有些函数在其定义域上的对应法则不能由一个式子表示,而是在定义域的不同区段上由不同的式子来表示,这样的函数叫做 分段函数例如,
0,1
0,12
)(
2 xx
xx
xf
函数的特性
M
M
y
xo
y=f(x)
X
1．函数的有界性,
设定义域为 X,M为非负实数,若?x?X,
有 |f(x)|≤ M,则称 f(x)在 X内 有界
2．函数的单调性,
x
y
o
设定义域为 X,区间 I?X,如果对于区间 I上任意两点 x1及 x2,当 x1<x2时,有
f(x1)<f(x2),则称函数 f(x)在区间 I上 单调增加 y=f(x)
f(x1)
f(x2)
I
x
y
o
设定义域为 X,区间 I?X,如果对于区间 I上任意两点 x1及 x2,当 x1<x2时,有
f(x1)>f(x2),则称函数 f(x)在区间 I上 单调减少
y=f(x)
f(x1)f(x
2)
I
3．函数的奇偶性,
y
xo x?x
设定义域 X关于原点对称,若?x?X,
有 f(?x)=f(x),则称函数 f(x)为 偶函数
y=f(x)
f(?x) f(x)
y
xo x?x
设定义域 X关于原点对称,若?x?X,
有 f(?x)=?f(x),则称函数 f(x)为 奇函数
y=f(x)
f(?x)
f(x)
4．函数的周期性,
注,通常说周期函数的周期是指其最小正周期
2l? 2l23l? 23l
设定义域为 X,如果存在一个不为零的数 l,使得?x?X,有 (x?l)?X,且 f(x?l)=f(x),
则称函数 f(x)为 周期函数,l 称为 f(x)的周期
