第九章 含变化率的方程问题
—— 微分方程浅说
§ 1 微分方程初识 —— 一般概念
§ 1.1 例子例 1 一曲线通过点 (1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程解,设所求曲线为 y=f(x)
xdxdy 2?
由已知,有两端对 x积分,有 dxxy 2?y=x2+C
曲线通过点 (1,2)?2=12+C?C=1
所求曲线方程为,y=x2+1
例 2 列车在平直的线路上以 20米 /秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度?0.4
米 /秒 2,问开始制动后多少时间列车才能停住? 以及列车在这段时间内行驶了多少路程?
解,设制动后 t秒钟行驶 s米,s=s(t)
4.02
2

dt
sd
由已知,有
dtdtdsv )4.0(
=?0.4t+C1
dtCts )4.0( 1
=?0.2t2+C1t+C2
由已知,有,t=0时,s=0,v=20
可得,C1=20,C2=0
v=?0.4t+20
s=?0.2t2+20t
故,开始制动到列车完全停住共需,
4.0
20?t =50(秒 )
列车在这段时间内行驶了,
s=?0.2?502+20?50=500(米 )
§ 1.2 一般概念含有未知函数的导数或微分的方程叫做 微分方程例如,y?=2x
s=?0.4
一阶微分方程
二阶微分方程微分方程中,未知函数的最高阶导数的阶数称为 微分方程的阶分类 1,常微分方程,偏微分方程分类 2:
一阶微分方程,F(x,y,y?)=0 或 y?=f(x,y)
高阶 (n阶 )微分方程,
F(x,y,y?,y,...,y(n))=0
或 y(n)=f(x,y,y?,...,y(n?1))
yxxz
例如,
分类 3,线性与非线性微分方程
y?+P(x)y=Q(x)
x(y?)2?2yy?+x=0
分类 4,单个微分方程与微分方程组


zy
dx
dz
zy
dx
dy
2
23
满足微分方程的函数称为 微分方程的解,即代入微分方程能使方程成为恒等式的函数例如,y=x2+C,y=x2+1都是 y?=2x的解
s=?0.2t2+C1t+C2和 s=?0.2t2+20t都是 s=?0.4的解包含任意常数的解称为 微分方程的通解,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同确定了通解中的任意常数后得到的解称为它的 特解例如,y=x2+C是 y?=2x的通解
s=?0.2t2+C1t+C2是 s=?0.4的通解例如,y=x2+1是 y?=2x的特解
s=?0.2t2+20t是 s=?0.4的特解初值问题 (柯西问题 ):求微分方程带有初始条件的问题初始条件,为从通解中确定出特解而附加的条件例如,y|x=1=2是例 1的初始条件
s|t=0=0,s?|t=0=20是例 2的初始条件例 3 验证,函数 x=C1coskt+C2sinkt是微分
022
2
xk
dt
xd
0,
00

tt dt
dxAx
的特解
[证 ]
ktkCktkCdtdx c o ss i n 21
ktCkktCk
dt
xd s i nc o s
2
2
1
2
2
2

件方程 的解,并求满足初始条故 x=C1coskt+C2sinkt是原微分方程的解
0,
00

tt dt
dxAx
C1=A,C2=0
所求特解为,x=Acoskt
xk
dt
xd 2
2
2

=?k2(C1coskt+C2sinkt)+k2(C1coskt+C2sinkt)
0
§ 1.3 微分方程及其解的几何解释微分方程的通解的图形是积分曲线族特解的图形是一条积分曲线