§ 1.5 函数的连续性与可导性之间的关系
)(lim 0
0
xfxy
x


)( 0xfxy
如果函数 y=f(x)在点 x处可导,则
f(x)在点 x处连续定理 2:
即 可导则连续
[证 ] 设函数 f(x)在点 x0可导
y=f?(x0)?x+x
])([limlim 000 xxxfy xx
=0
故,函数 f(x)在点 x0连续注意,该定理的逆定理不成立,
例如,函数 f(x)=|x| xy?
x
y
o,但不可导在 x=0处连续
1,
1,
)(
2
xx
xx
xf
的连续性、可导性,并求出导函数例 1 讨论函数解,当 x?1时 f(x)连续当 x=1时
1li m)(li m 2
11


xxf
xx
1lim)(lim
11


xxf
xx
o
y
x
y=xy=x2
1)1()(lim)(lim
11


fxfxf
xx
f(x)在 x=1也连续则 f(x)是连续函数
o
y
x
y=xy=x2当 x?1时 f(x)可导当 x=1时当 x>1时,f?(x)=1
当 x<1时,f?(x)=2x
x
fxff
x?


)1()1(lim)1(
0
2)(2lim
2
0

x
xx
x
x
x
x?


1)1(lim 2
0
o
y
x
y=xy=x2
x
fxff
x?


)1()1(l i m)1(
0
11)1(lim
0

x
x
x
f(1)? f?+(1)
则 f(x)在 x=1不可导所求导数为,

1,1
1,2
)(
x
xx
xf
可见,对于分段函数的求导问题,可用“分段点”将函数 f(x)的定义区间分成几个开区间,在每个开区间分别对 f(x)求导,然后在每个“分段点”处用导数定义分别讨论 f(x)的可导性