§ 3.3 无穷小量
1,无穷小量的概念
2,无穷小量的性质
3,无穷小量阶的比较
1,无穷小量的概念无穷小量,以零为极限的变量若函数 f(x)在某个极限过程中以零为极限,则称 f(x)为该过程中的 无穷小量,
简称 无穷小例如,
0s i nl i m0 xx
函数 sinx是当 x?0时的无穷小
01l i m xx
函数
x
1 是当 x时的无穷小
0)1(l i m
n
n
n
数列
})1({ n
n? 是当 n时的无穷小注,
1.无穷小是变量,不是很小的常量
2.零是可以作为无穷小的唯一的常量定理 1 函数 f(x)在某个极限过程中以常数 A为极限?函数 f(x)能表示为常量 A与无穷小量?之和的形式,即
f(x)=A+?
极限与无穷小量的关系：
2.无穷小量的性质,
定理 2 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量定理 3 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量推论 1 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量推论 2 常量与无穷小量的乘积是无穷小量定理 4 无穷小量 (0除外 )的倒数是无穷大量
(类似地,无穷大量的倒数是无穷小量 )
3,无穷小量阶的比较例如,
但它们趋于零的快慢程度不同,我们由它们的比值的极限来判断,称为无穷小量阶的比较两个无穷小量之比,称为“
0
0,型不定式当 x?0时,x,x2,sinx,
xx
1s i n2
都是无穷小
,不可比极限不同,反映了趋近于零的“快慢”
程度不同,
x
x
x 3
l i m
2
0?
=0
x
x
x
s i nl i m
0?
=1
2
2
0
1s i n
l i m
x
x
x
x? xx
1s i nlim
0?
观察各极限,
x2比 3x要快得多
sinx与 x大致相同不存在
,称?是较?低阶的无穷小
,称?是较?高阶的无穷小,
记作? =o(?)
,称?与?是 同阶无穷小定义,设?,?是同一过程中的两个无穷小,
且0
(1)如果
)0( l i m CC
特别,当 C=1时,称?与?是 等价无穷小,记作? ~?
(2)如果
0lim
(3)如果
lim
两个无穷大量之比,称为“
”型不定式