§ 1.习题课一、主要内容二、例题
（一）邻域的定义
（二）数列极限的概念
（三）函数极限的概念一、主要内容与点 x0距离小于? (>0) 的全体实数的集合称为点 x0的?邻域,记作 U(x0,?)
邻域
U0(x0,? ),如果点 x0的?邻域 U(x0,? )不包含点 x0,则称为 点 x0的 去心邻域用集合表示,{x|?x?x0?<? }
用集合表示,{x| 0<?x?x0?<? }
数列极限的定义如果对于任意给定的正数?(不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 n>N
时的一切 n,不等式 |an?a|<?都成立,那么就称数列 {an} 以 a为 极限,或者称数列
{an}收敛 于 a,记为
aa nnlim 或 an?a (n)
N定义,
>0,?N>0,使 n>N时,恒有 |an?a|<?
aa nnlim
函数极限的定义 (x?x0)
设函数 y=f(x)在点 x0的近旁有定义 (在点 x0处可以无定义 ),如果对于任意正数?
(不管它有多小 ),总存在相应的正数?,使得满足 0<|x?x0|<?的一切 x能使 |f(x)?A|<?恒成立,则称函数 f(x)当 x?x0时以 A为 极限,
或称函数 f(x)在点 x0有极限,记作
Axfxx )(lim
0
或 f(x)?A (x?x0)
>0, >0,使当 0<|x?x0|<?时,
恒有 |f(x)?A|<?
定义,
左极限和右极限自变量 x从 x0的左侧或右侧趋近 x0时函数 f(x)的极限,称为 左极限 或 右极限,分别记为
)(l i m)(l i m
00
xfxf
xxxx
和定理 函数 f(x)当 x?x0时存在极限?左极限和右极限存在且相等函数极限的性质
,且 A>0 (或 A<0),则 >0,当 x?U0(x0,
)时,f(x)>0 (或 f(x)<0)
局部保号性定理 若
Axfxx )(lim
0
定理 如果 f(x)≥0,且
Axfxx )(lim
0,那么 A≥ 0
推论 若 f(x)≤ g(x),且
,)(lim
0
Axfxx
Bxgxx )(lim
0
,则 A≤ B
无穷小量,极限为零的变量绝对值无限增大的变量无穷大,
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大无穷小与无穷大的关系无穷小量与无穷大量记作
0)(l i m
0
xfxx )0)(lim( xfx或记作
)(lim
0
xfxx ))(l i m( xfx或无穷小的运算性质定理 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量定理 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量推论 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量推论 常量与无穷小量的乘积是无穷小量推论 在同一过程中,有极限的变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量无穷小量阶的比较
,称?是较?低阶的无穷小
,称?是较?高阶的无穷小,
记作? =o(?)
,称?与?是 同阶无穷小
,?是同一过程中的两个无穷小,且0
(1)如果
)0( l i m CC
特别,当 C=1时,称?与?是 等价无穷小,记作? ~?
(2)如果 0lim?
(3)如果
lim
极限的性质定理,设 limf(x)=A,limg(x)=B,则
(1) lim[f(x)?g(x)]=A?B
(2) lim[f(x)?g(x)]=A?B
(3)
B
A
xg
xf?
)(
)(lim (其中 B?0)
推论 1 如果 limf(x)存在,而 c为常数,则
lim[cf(x)]=climf(x)
推论 2 如果 limf(x)存在,而 n是正整数,则
lim[f(x)]n=[limf(x)]n
两个重要极限
1s i nl i m
0
x
x
x
ex x
x
)11(l i m ex x
x
1
0
)1(l i m
求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限
b.消去零因子法求极限
c.无穷小因子分出法求极限
d.利用无穷小运算性质求极限
e.利用两个重要极限公式求极限
f.利用左右极限求分段函数极限
g.利用等价无穷小替换定理二、例题例 1 用,”定义证明
211lim 2
1
x
x
x
[证 ]>0
∵
)2(11
2
xx
=|x?1?(?2)|=|x+1|<?
|x?(?1)|<?
故，取?=?,使得当 0<|x?x0|<?时，
)2(11
2
x
x 恒成立,即 211lim
2
1
x
x
x
例 2 求极限
2
2
)1(
12lim
n
nn
n?
解：原式 =
12
12lim
2
2
nn
nn
n
2
2
121
112
lim
nn
nn
n
1
2? =2
型例 3 求极限
3
21l i m
3?
x
x
x
解：原式 =
)21)(3(
)21)(21(l i m
3
xx
xx
x
)21)(3(
41l i m
3
xx
x
x
21
1lim
3
xx
231
1
41?
例 4 求极限
x
x
x
2
0
)1(lim?
解：原式 = 21
0
)1(l i m?
x
x
x
21
0
)1(l i m?
x
x
x
=e2
ex x
x
1
0
)1(lim
例 5 求极限
12
1s i n
lim
2
2
x
x
x
x
解：原式 =
x
x
x
x
xx 1
1s i n
lim
12
lim
2
1
12
lim 2
2
x
x
x
2
12
1l i m
x
x?
2
2
2
1
1s i nl i m
0
x
x
x
例 6 当 |x|<1时，求
)1()1)(1)(1(lim 242 nxxxxn
解：原式
x
xxxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1)(1(lim 242?
x
xxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1(lim 2422?
x
xx nn
n?
1
)1)(1(lim 22
x
x n
n?
1
1lim 12
x 1
1
例 7 设 p(x)是多项式,且
,2)(lim 2
3
x
xxp
x
1)(lim
0
x
xp
x
,求 p(x)
解,
2)(l i m 2
3
x
xxp
x
∴ 可设 p(x)=x3+2x2+ax+b
1)(lim
0
x
xp
x
又
1)2(l i m 20 xbaxxx 1)(l i m0 xbax
从而得,a=1,b=0 ∴ p(x)=x3+2x2+x
（一）邻域的定义
（二）数列极限的概念
（三）函数极限的概念一、主要内容与点 x0距离小于? (>0) 的全体实数的集合称为点 x0的?邻域,记作 U(x0,?)
邻域
U0(x0,? ),如果点 x0的?邻域 U(x0,? )不包含点 x0,则称为 点 x0的 去心邻域用集合表示,{x|?x?x0?<? }
用集合表示,{x| 0<?x?x0?<? }
数列极限的定义如果对于任意给定的正数?(不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 n>N
时的一切 n,不等式 |an?a|<?都成立,那么就称数列 {an} 以 a为 极限,或者称数列
{an}收敛 于 a,记为
aa nnlim 或 an?a (n)
N定义,
>0,?N>0,使 n>N时,恒有 |an?a|<?
aa nnlim
函数极限的定义 (x?x0)
设函数 y=f(x)在点 x0的近旁有定义 (在点 x0处可以无定义 ),如果对于任意正数?
(不管它有多小 ),总存在相应的正数?,使得满足 0<|x?x0|<?的一切 x能使 |f(x)?A|<?恒成立,则称函数 f(x)当 x?x0时以 A为 极限,
或称函数 f(x)在点 x0有极限,记作
Axfxx )(lim
0
或 f(x)?A (x?x0)
>0, >0,使当 0<|x?x0|<?时,
恒有 |f(x)?A|<?
定义,
左极限和右极限自变量 x从 x0的左侧或右侧趋近 x0时函数 f(x)的极限,称为 左极限 或 右极限,分别记为
)(l i m)(l i m
00
xfxf
xxxx
和定理 函数 f(x)当 x?x0时存在极限?左极限和右极限存在且相等函数极限的性质
,且 A>0 (或 A<0),则 >0,当 x?U0(x0,
)时,f(x)>0 (或 f(x)<0)
局部保号性定理 若
Axfxx )(lim
0
定理 如果 f(x)≥0,且
Axfxx )(lim
0,那么 A≥ 0
推论 若 f(x)≤ g(x),且
,)(lim
0
Axfxx
Bxgxx )(lim
0
,则 A≤ B
无穷小量,极限为零的变量绝对值无限增大的变量无穷大,
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大无穷小与无穷大的关系无穷小量与无穷大量记作
0)(l i m
0
xfxx )0)(lim( xfx或记作
)(lim
0
xfxx ))(l i m( xfx或无穷小的运算性质定理 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量定理 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量推论 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量推论 常量与无穷小量的乘积是无穷小量推论 在同一过程中,有极限的变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量无穷小量阶的比较
,称?是较?低阶的无穷小
,称?是较?高阶的无穷小,
记作? =o(?)
,称?与?是 同阶无穷小
,?是同一过程中的两个无穷小,且0
(1)如果
)0( l i m CC
特别,当 C=1时,称?与?是 等价无穷小,记作? ~?
(2)如果 0lim?
(3)如果
lim
极限的性质定理,设 limf(x)=A,limg(x)=B,则
(1) lim[f(x)?g(x)]=A?B
(2) lim[f(x)?g(x)]=A?B
(3)
B
A
xg
xf?
)(
)(lim (其中 B?0)
推论 1 如果 limf(x)存在,而 c为常数,则
lim[cf(x)]=climf(x)
推论 2 如果 limf(x)存在,而 n是正整数,则
lim[f(x)]n=[limf(x)]n
两个重要极限
1s i nl i m
0
x
x
x
ex x
x
)11(l i m ex x
x
1
0
)1(l i m
求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限
b.消去零因子法求极限
c.无穷小因子分出法求极限
d.利用无穷小运算性质求极限
e.利用两个重要极限公式求极限
f.利用左右极限求分段函数极限
g.利用等价无穷小替换定理二、例题例 1 用,”定义证明
211lim 2
1
x
x
x
[证 ]>0
∵
)2(11
2
xx
=|x?1?(?2)|=|x+1|<?
|x?(?1)|<?
故，取?=?,使得当 0<|x?x0|<?时，
)2(11
2
x
x 恒成立,即 211lim
2
1
x
x
x
例 2 求极限
2
2
)1(
12lim
n
nn
n?
解：原式 =
12
12lim
2
2
nn
nn
n
2
2
121
112
lim
nn
nn
n
1
2? =2
型例 3 求极限
3
21l i m
3?
x
x
x
解：原式 =
)21)(3(
)21)(21(l i m
3
xx
xx
x
)21)(3(
41l i m
3
xx
x
x
21
1lim
3
xx
231
1
41?
例 4 求极限
x
x
x
2
0
)1(lim?
解：原式 = 21
0
)1(l i m?
x
x
x
21
0
)1(l i m?
x
x
x
=e2
ex x
x
1
0
)1(lim
例 5 求极限
12
1s i n
lim
2
2
x
x
x
x
解：原式 =
x
x
x
x
xx 1
1s i n
lim
12
lim
2
1
12
lim 2
2
x
x
x
2
12
1l i m
x
x?
2
2
2
1
1s i nl i m
0
x
x
x
例 6 当 |x|<1时，求
)1()1)(1)(1(lim 242 nxxxxn
解：原式
x
xxxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1)(1(lim 242?
x
xxxx n
n?
1
)1()1)(1)(1(lim 2422?
x
xx nn
n?
1
)1)(1(lim 22
x
x n
n?
1
1lim 12
x 1
1
例 7 设 p(x)是多项式,且
,2)(lim 2
3
x
xxp
x
1)(lim
0
x
xp
x
,求 p(x)
解,
2)(l i m 2
3
x
xxp
x
∴ 可设 p(x)=x3+2x2+ax+b
1)(lim
0
x
xp
x
又
1)2(l i m 20 xbaxxx 1)(l i m0 xbax
从而得,a=1,b=0 ∴ p(x)=x3+2x2+x
