§ 3 变量无限变化的数学模型
—— 极限
§ 3.1 数列极限一、数列的定义定义,按自然数 1,2,3,...编号依次排列的一列数 x1,x2,...,xn,...称为 无穷数列,简称数列,其中的每个数称为数列的 项,xn称为 通项 (一般项 ).该数列记为 {xn}
例如,2,4,8,...,2n,..,{2n}
,
2
1,,
8
1,
4
1,
2
1
n
}
2
1{
n
1x 2x3x 4x nx
1,?1,1,...,(?1)n+1,..,{(?1)n+1}
,)1(,,34,21,2
1
n
n n })1({ 1
n
n n
注意,
1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取 x1,x2,...,xn,...
2.数列是整标函数 xn=f(n)
,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
割圆术：
—— 刘徽二、概念的引入
n=4
n=6
n=8
n=10
n=12
n=16
n=20
n=24
n=28
R
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
......
正 6?2n?1的面积 An
A1,A2,A3,...,An,..,S
三、数列的极限观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势问题,当 n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值? 如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察,
当 n无限增大时,
nx
n
n
1)1(
1
无限接近于 1
定义 1 如果 n无限增大时，数列 {xn}的通项 xn无限趋近于常数 a,则称该数列以
a为 极限,也称该数列 收敛记作
ax nnlim
或 xn?a (n)
如果 n时,xn不以任何常数为极限,则称数列 {xn}发散无穷小量,以零为极限的变量例如
n2
1
无穷大量,绝对值无限变大的变量例如 2n
})1(1{
1
nx
n
n
问题,,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?
∵ |xn?1|=
n
n 1)1(
n
1?
给定
100
1,由
1 0 0
11?
n
,只要 n>100时,
有
100
1|1|
nx
给定
1000
1,只要 n>1000时,有
1 0 0 0
1|1|
nx
给定
1 0 0 0 0
1,只要 n>10000时,
有
10000
1|1|
nx
给定?>0,只要 n>N时,
有 |xn?1|<?成立
])1[(N可取定义,如果对于任意给定的正数?(不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 n>N
时的一切 xn,不等式 |xn?a|<?都成立,那么就称常数 a是数列 xn的 极限,或者称数列
xn收敛 于 a,记为
ax nnlim 或 xn?a (n)
注意,
1.不等式 |xn?a|<?刻划了 xn与 a的无限接近
2.N与任意给定的正数?有关
x1x2x 2?Nx1?Nx 3x
2aa
a
N定义,ax
nnlim
>0,?N>0,使 n>N时,恒有 |xn?a|<?
其中?:每一个或任给的
:至少有一个或存在几何解释,
当 n>N时,所有的点 xn都落在 (a,a+?)内,
只有有限个 (至多只有 N个 )落在其外注,数列极限的定义未给出求极限的方法例 1 证明 1)1(lim 1
n
n n
n
[证 ] |xn?1| 1)1( 1
n
n n
n
1?
任给?>0,要 |xn?1|<?,只要
n
1
1 n
所以,取 ]1[
N
,则当 n>N时,就有
1)1(
1
n
n n 即 1)1(lim 1
n
n n
n
例 2 设 xn?C (C为常数 ),证明 Cx
nnlim
[证 ] 任给?>0,
|xn?C|
对于一切自然数 n,
=|C?C| =0 <?成立所以,Cx
nnlim
说明,常数列的极限等于同一常数小结,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定?>0,寻找 N,但不必要求最小的 N
例 3 证明,其中 |q|<10lim?
n
n q
[证 ] 任给?>0
若 q=0,则 00l i ml i m
n
n
n q
若 0<|q|<1,|xn?0| || nq? <nln|q|<ln?
||ln
ln
qn
取 ]
||ln
ln[
qN
,则当 n>N时,
就有 |0| nq 0lim?
n
n q
即五、小结数列,研究其变化规律数列极限,极限思想,精确定义,几何意义用?-N定义证明
ax nnlim
的步骤：
1,给定任意正数?
2,由 |xn?a|<?寻找正整数 N
3,按照定义的模式写出结论练习题一、利用数列极限的定义证明,
2
3
12
13lim?
n
n
n
1.
2.
199 9 9.0limn
二、设数列 xn有界,又
0l i m nn y
证明,
0lim nnn yx
—— 极限
§ 3.1 数列极限一、数列的定义定义,按自然数 1,2,3,...编号依次排列的一列数 x1,x2,...,xn,...称为 无穷数列,简称数列,其中的每个数称为数列的 项,xn称为 通项 (一般项 ).该数列记为 {xn}
例如,2,4,8,...,2n,..,{2n}
,
2
1,,
8
1,
4
1,
2
1
n
}
2
1{
n
1x 2x3x 4x nx
1,?1,1,...,(?1)n+1,..,{(?1)n+1}
,)1(,,34,21,2
1
n
n n })1({ 1
n
n n
注意,
1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取 x1,x2,...,xn,...
2.数列是整标函数 xn=f(n)
,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
割圆术：
—— 刘徽二、概念的引入
n=4
n=6
n=8
n=10
n=12
n=16
n=20
n=24
n=28
R
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
......
正 6?2n?1的面积 An
A1,A2,A3,...,An,..,S
三、数列的极限观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势观察数列
})1(1{
1
n
n
当 n时的变化趋势问题,当 n无限增大时,xn是否无限接近于某一确定的数值? 如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察,
当 n无限增大时,
nx
n
n
1)1(
1
无限接近于 1
定义 1 如果 n无限增大时，数列 {xn}的通项 xn无限趋近于常数 a,则称该数列以
a为 极限,也称该数列 收敛记作
ax nnlim
或 xn?a (n)
如果 n时,xn不以任何常数为极限,则称数列 {xn}发散无穷小量,以零为极限的变量例如
n2
1
无穷大量,绝对值无限变大的变量例如 2n
})1(1{
1
nx
n
n
问题,,无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?
∵ |xn?1|=
n
n 1)1(
n
1?
给定
100
1,由
1 0 0
11?
n
,只要 n>100时,
有
100
1|1|
nx
给定
1000
1,只要 n>1000时,有
1 0 0 0
1|1|
nx
给定
1 0 0 0 0
1,只要 n>10000时,
有
10000
1|1|
nx
给定?>0,只要 n>N时,
有 |xn?1|<?成立
])1[(N可取定义,如果对于任意给定的正数?(不论它多么小 ),总存在正数 N,使得对于 n>N
时的一切 xn,不等式 |xn?a|<?都成立,那么就称常数 a是数列 xn的 极限,或者称数列
xn收敛 于 a,记为
ax nnlim 或 xn?a (n)
注意,
1.不等式 |xn?a|<?刻划了 xn与 a的无限接近
2.N与任意给定的正数?有关
x1x2x 2?Nx1?Nx 3x
2aa
a
N定义,ax
nnlim
>0,?N>0,使 n>N时,恒有 |xn?a|<?
其中?:每一个或任给的
:至少有一个或存在几何解释,
当 n>N时,所有的点 xn都落在 (a,a+?)内,
只有有限个 (至多只有 N个 )落在其外注,数列极限的定义未给出求极限的方法例 1 证明 1)1(lim 1
n
n n
n
[证 ] |xn?1| 1)1( 1
n
n n
n
1?
任给?>0,要 |xn?1|<?,只要
n
1
1 n
所以,取 ]1[
N
,则当 n>N时,就有
1)1(
1
n
n n 即 1)1(lim 1
n
n n
n
例 2 设 xn?C (C为常数 ),证明 Cx
nnlim
[证 ] 任给?>0,
|xn?C|
对于一切自然数 n,
=|C?C| =0 <?成立所以,Cx
nnlim
说明,常数列的极限等于同一常数小结,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定?>0,寻找 N,但不必要求最小的 N
例 3 证明,其中 |q|<10lim?
n
n q
[证 ] 任给?>0
若 q=0,则 00l i ml i m
n
n
n q
若 0<|q|<1,|xn?0| || nq? <nln|q|<ln?
||ln
ln
qn
取 ]
||ln
ln[
qN
,则当 n>N时,
就有 |0| nq 0lim?
n
n q
即五、小结数列,研究其变化规律数列极限,极限思想,精确定义,几何意义用?-N定义证明
ax nnlim
的步骤：
1,给定任意正数?
2,由 |xn?a|<?寻找正整数 N
3,按照定义的模式写出结论练习题一、利用数列极限的定义证明,
2
3
12
13lim?
n
n
n
1.
2.
199 9 9.0limn
二、设数列 xn有界,又
0l i m nn y
证明,
0lim nnn yx
