§ 3.2 函数极限
1.自变量 x无限趋近于有限数 x0的情形
2.左极限和右极限
3.自变量 x的绝对值无限增大时的情形
4.函数极限的性质一、自变量 x无限趋近于有限数 x0的情形例 1 考察函数 y=f(x)=x+1 (x?R)当 x趋近于常数 x0=1时的变化趋势
x
f(x)
1
2
0.9
1.9
0.98
1.98
0.99
1.99
0.999
1.999
1.1
2.1
1.02
2.02
1.01
2.01
1.001
2.001
可见,当 x从点 x0=1的左右近旁越来越接近于 1时,函数 f(x)的值越来越接近于常数 2
例 2 考察函数 (x?R
且 x?1)当 x?1时的变化趋势
1
1)( 2
x
xxgy
与 f(x)不同,g(x)在点 x0=1处无定义由于 x?1,则 g(x)=x+1
当 x?1时,函数 f(x)与 g(x)均以 2为极限,与函数在 点 x0处是否有定义无关
>0, >0,使当 0<|x?x0|<?时,
恒有 |f(x)?A|<?
定义 1 设函数 y=f(x)在点 x0的近旁有定义
(在点 x0处可以无定义 ),如果对于任意正数
(不管它有多小 ),总存在相应的正数?,使得满足 0<|x?x0|<?的一切 x能使 |f(x)?A|<?
恒成立,则称函数 f(x)当 x?x0时以 A为 极限
,或称函数 f(x)在点 x0有极限记作
Axfxx )(l i m
0
或 f(x)?A (x?x0)
定义,
用?-?定义证明
Axf
xx
)(lim
0
的步骤：
1,给定任意正数?
2,由 |f(x)?A|<?求满足 0<|x?x0|<?的正数?
3,按照定义的模式写出结论注意,
1,函数极限与 f(x)在点 x0是否有定义无关
2,?与任意给定的正数?有关例 3 证明 (C为常数 )
CCxx
0
lim
[证 ] 任给?>0
任取?>0,当 0<|x?x0|<?时,
要使 |f(x)?A|=|C?C|=0<?
成立
CCxx
0
li m
|f(x)?A| <?
例 4 证明
0
0
l im xxxx
[证 ] 任给?>0
要使 |f(x)?A|=|x?x0|<?
取? =?,当 0<|x?x0|<?=? 时,
成立|f(x)?A| <?
0
0
lim xxxx
例 5 证明
211l i m
2
1
x
x
x
[证 ] 任给?>0
要使 |f(x)?A|
211
2
xx
=|x?1|<?
取? =?,当 0<|x?x0|<?时,
成立|f(x)?A| <?
211lim
2
1
x
x
x
二、左极限和右极限自变量 x从 x0的左侧或右侧趋近 x0时函数 f(x)的极限,称为 左极限 或 右极限,分别记为
)(l i m)(l i m
00
xfxf
xxxx
和定理 函数 f(x)当 x?x0时存在极限?左极限和右极限存在且相等
y
x
1
1?
o左右极限存在但不相等例 6 验证 不存在
x
x
x
||l i m
0?
[证 ]
x
x
x
||lim
0 x
x
x
0
l i m )1(lim
0
x
=?1
x
x
x
||lim
0 x
x
x
0
l i m 1lim
0
x
=1
x
x
x
||l i m
0?
不存在三、自变量 x的绝对值无限增大时的情形观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势
x
xy sin?
A
通过上面演示的观察,
当 x无限增大时,
x
xxf s i n)(? 无限接近于 0
可见,当 |x|无限增大时,函数
x
xxf s i n)(?
以常数 A=0为极限记作
0s i nl i m?
x
x
x
当 x>0或 x<0时,函数 f(x)的极限分别记作
)(l i m xfx
或
)(l i m xfx
定理,
Axfx )(lim
Axfx )(lim
且
Axfx )(lim
注,在 x?x0或 x的变化过程中,不是所有的函数都有极限例如 y=sinx和 y=2x当 x时不存在极限为了叙述方便,我们说无穷大量的极限是无穷大例如无穷大量 y=f(x)=2x的 极限是无穷大,记作 f(x)(x)
,且 A>0 (或 A<0),则 >0,当 x?U0(x0,
)时,f(x)>0 (或 f(x)<0)
四、函数极限的性质局部保号性定理 若
Axfxx )(lim
0
注：仅在 x0的某一去心邻域内成立
(讨论 x?x0的情形,x类似 )
[证 ]
0)(li m
0
Axfxx
由定义知,>0, >0,使得当 0<|x?x0|<?时,|f(x)?A|<? 恒成立即 0=A?A<f(x)<A+A成立取?=A,则 |f(x)?A|<A(=?)
定理 非负函数的极限非负,
Axfxx )(lim
0,那么 A≥ 0
即如果 f(x)≥0,且
[证 ] 反证法设 A≥0不成立,即 A<0
由局部保号性定理可知,在 x0的某邻域内 f(x)<0
与已知 f(x)≥0矛盾，故得证注：
Axfxx )(lim
0
,那么 A≥ 0
如果 f(x)>0,且例如,f(x)=x2 (x?0) >0,而
0l i m 20 xx
推论 若 f(x)≤ g(x),且
,)(lim
0
Axfxx
Bxgxx )(lim
0
,则 A≤ B
练习题
1,当 x?2时,y=x2?4,问当?取 ______时,
只要 0<|x?2|<?,必有 |y?4|<0.001
2,用函数极限的定义证明,
2
12
41l i m 2
2
1
x
x
x
0.0002
1.自变量 x无限趋近于有限数 x0的情形
2.左极限和右极限
3.自变量 x的绝对值无限增大时的情形
4.函数极限的性质一、自变量 x无限趋近于有限数 x0的情形例 1 考察函数 y=f(x)=x+1 (x?R)当 x趋近于常数 x0=1时的变化趋势
x
f(x)
1
2
0.9
1.9
0.98
1.98
0.99
1.99
0.999
1.999
1.1
2.1
1.02
2.02
1.01
2.01
1.001
2.001
可见,当 x从点 x0=1的左右近旁越来越接近于 1时,函数 f(x)的值越来越接近于常数 2
例 2 考察函数 (x?R
且 x?1)当 x?1时的变化趋势
1
1)( 2
x
xxgy
与 f(x)不同,g(x)在点 x0=1处无定义由于 x?1,则 g(x)=x+1
当 x?1时,函数 f(x)与 g(x)均以 2为极限,与函数在 点 x0处是否有定义无关
>0, >0,使当 0<|x?x0|<?时,
恒有 |f(x)?A|<?
定义 1 设函数 y=f(x)在点 x0的近旁有定义
(在点 x0处可以无定义 ),如果对于任意正数
(不管它有多小 ),总存在相应的正数?,使得满足 0<|x?x0|<?的一切 x能使 |f(x)?A|<?
恒成立,则称函数 f(x)当 x?x0时以 A为 极限
,或称函数 f(x)在点 x0有极限记作
Axfxx )(l i m
0
或 f(x)?A (x?x0)
定义,
用?-?定义证明
Axf
xx
)(lim
0
的步骤：
1,给定任意正数?
2,由 |f(x)?A|<?求满足 0<|x?x0|<?的正数?
3,按照定义的模式写出结论注意,
1,函数极限与 f(x)在点 x0是否有定义无关
2,?与任意给定的正数?有关例 3 证明 (C为常数 )
CCxx
0
lim
[证 ] 任给?>0
任取?>0,当 0<|x?x0|<?时,
要使 |f(x)?A|=|C?C|=0<?
成立
CCxx
0
li m
|f(x)?A| <?
例 4 证明
0
0
l im xxxx
[证 ] 任给?>0
要使 |f(x)?A|=|x?x0|<?
取? =?,当 0<|x?x0|<?=? 时,
成立|f(x)?A| <?
0
0
lim xxxx
例 5 证明
211l i m
2
1
x
x
x
[证 ] 任给?>0
要使 |f(x)?A|
211
2
xx
=|x?1|<?
取? =?,当 0<|x?x0|<?时,
成立|f(x)?A| <?
211lim
2
1
x
x
x
二、左极限和右极限自变量 x从 x0的左侧或右侧趋近 x0时函数 f(x)的极限,称为 左极限 或 右极限,分别记为
)(l i m)(l i m
00
xfxf
xxxx
和定理 函数 f(x)当 x?x0时存在极限?左极限和右极限存在且相等
y
x
1
1?
o左右极限存在但不相等例 6 验证 不存在
x
x
x
||l i m
0?
[证 ]
x
x
x
||lim
0 x
x
x
0
l i m )1(lim
0
x
=?1
x
x
x
||lim
0 x
x
x
0
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0
x
=1
x
x
x
||l i m
0?
不存在三、自变量 x的绝对值无限增大时的情形观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势观察函数
x
xs i n 当 x时的变化趋势
x
xy sin?
A
通过上面演示的观察,
当 x无限增大时,
x
xxf s i n)(? 无限接近于 0
可见,当 |x|无限增大时,函数
x
xxf s i n)(?
以常数 A=0为极限记作
0s i nl i m?
x
x
x
当 x>0或 x<0时,函数 f(x)的极限分别记作
)(l i m xfx
或
)(l i m xfx
定理,
Axfx )(lim
Axfx )(lim
且
Axfx )(lim
注,在 x?x0或 x的变化过程中,不是所有的函数都有极限例如 y=sinx和 y=2x当 x时不存在极限为了叙述方便,我们说无穷大量的极限是无穷大例如无穷大量 y=f(x)=2x的 极限是无穷大,记作 f(x)(x)
,且 A>0 (或 A<0),则 >0,当 x?U0(x0,
)时,f(x)>0 (或 f(x)<0)
四、函数极限的性质局部保号性定理 若
Axfxx )(lim
0
注：仅在 x0的某一去心邻域内成立
(讨论 x?x0的情形,x类似 )
[证 ]
0)(li m
0
Axfxx
由定义知,>0, >0,使得当 0<|x?x0|<?时,|f(x)?A|<? 恒成立即 0=A?A<f(x)<A+A成立取?=A,则 |f(x)?A|<A(=?)
定理 非负函数的极限非负,
Axfxx )(lim
0,那么 A≥ 0
即如果 f(x)≥0,且
[证 ] 反证法设 A≥0不成立,即 A<0
由局部保号性定理可知,在 x0的某邻域内 f(x)<0
与已知 f(x)≥0矛盾，故得证注：
Axfxx )(lim
0
,那么 A≥ 0
如果 f(x)>0,且例如,f(x)=x2 (x?0) >0,而
0l i m 20 xx
推论 若 f(x)≤ g(x),且
,)(lim
0
Axfxx
Bxgxx )(lim
0
,则 A≤ B
练习题
1,当 x?2时,y=x2?4,问当?取 ______时,
只要 0<|x?2|<?,必有 |y?4|<0.001
2,用函数极限的定义证明,
2
12
41l i m 2
2
1
x
x
x
0.0002
