第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题 —— 导数与微分
§ 1 函数的局部变化率 —— 导数
§ 1.1 抽象导数概念的两个现实原型数学中研究导数、微分及其应用的部分叫做微分学牛顿从变速直线运动的瞬时速度出发,莱布尼茨从求曲线上一点处的切线出发,分别得出了导数的概念一、求变速直线运动的速度设一质点作变速直线运动,其运动方程为 s=s(t),求该点在 t0时刻的瞬时速度 v(t0)
t0o st
分析,
1.若质点作匀速直线运动：
0
0
0
)(
t
ts
v?2.若质点作变速直线运动：
(1)取一邻近于 t0的时刻 t,运动时间?t
可把质点在?t 间隔内的运动近似看成匀速运动相应地,?s=s(t)?s(t0) =s(t0+?t)?s(t0)
“求增量,
(2)当?t 很小时,速度变化不大,
t 内的平均速度,
t
tstts
t
sv

)()( 00
“求增量比,
t0o st
t0o st
(3)当?t越来越小,平均速度便越来越接近于 t0时刻的瞬时速度 v0
则当?t?0时,平均速度的极限就是瞬时速度 v0,即
vv t 00 l i m
“取极限,
t
tstts
t
s
tt?



)()(
limlim 00
00
如果割线 MN
绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线
MT就称为曲线 C在点 M处的切线二、求曲线切线的斜率如图,
T
0x x
o
x
y )( xfy?
C
N
M
极限位置即 |MN|?0,?NMT?0
设 M(x0,y0),N(x,y)
(1)求增量给 x0一个增量?x,
自变量由 x0变到 x0+?x,
曲线上点的纵坐标有相应的增量
y=f(x0+?x)?f(x0)
(2)求增量比,即求割线 MN的斜率当?x很小时,曲线上点的纵坐标变化不大,可用割线 MN的斜率近似代替切线
MT的斜率
T
0x x
o x
y )(xfy?
C
N
M
(3)求极限当?x?0时,点 N沿曲线 C无限趋近于点
M,割线 MN以切线 MT为极限,因而割线斜率的极限就是切线的斜率,即
x
xfxxf
x
y
xx?



)()(limlimt a n 00
00
其中? (/2)是切线 MT与 x轴正向的夹角
x
xfxxf
x
y

)()( 00
割线 MN的斜率为
T
0x x
o x
y )(xfy?
C
N
M
以上两个问题从纯数学的角度来考察,所要解决的数学问题是相同的,求一个变量相对于另一个变量的变化率问题,
由这两个具体问题便可抽象出导数的概念