§ 2 求导数的方法
—— 法则与公式
§ 2.1 求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则三、隐函数的求导法则四、反函数的求导法则五、由参数方程所确定的函数的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则
)0)(( )( 2 xvv vuvuvu
如果函数 u(x)和 v(x)是 x的可导函数,
则它们的和、差、积、商 (分母不为零 )
也是 x的可导函数,并且
(1) [u?v]?=uv?
(2) (uv)?=u?v+uv?
(3)
2)
1(
v
v
v
特别,
n
i
i
n
i
i xfxf
11
)(])([
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
1 1
21
21
1
)()(
)()()(
)()()(])([
推论,
(2) [Cf(x)]?=Cf?(x)
(1)
(3)
例 1 求 y=x3?2x2+sinx的导数解,y?=(x3?2x2+sinx)?
=(x3)(2x2)?+(sinx)?
=3x2?4x+cosx
例 2 求 y=sin2x?lnx的导数解,y=2sinx?cosx?lnx
y?=2(sinx)cosx?lnx+2sinx?(cosx)lnx
+2sinx?cosx?(lnx)?
=2cosx?cosx?lnx+2sinx?(?sinx)?lnx
xxx
1c o ss i n2
xxxx 2s i n1ln2c o s2
例 3 求 y=tanx的导数解,)
c o s
s i n()( t a n
x
xxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s i n
x
xx
2
22
c o s
s i nc o s
x2c o s
1? =sec2x
即 (tanx)?=sec2x
同理可得,(cotx)?=?csc2x
例 4 求 y=secx的导数解,)
c o s
1()( s e c
xxy
x
x
2c os
)( c os
x
x
2c o s
s i n =secxtanx
同理可得,(cscx)?=?cscxcotx
即 (secx)?=secxtanx
二、复合函数的求导法则如果函数 u=?(x)在点 x处可导,y=f(u)
在对应点 u=?(x)处也可导,则有复合函数
y=f[?(x)]在点 x可导,其导数为,
dx
du
du
dy
dx
dy?
即复合函数的导数,等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数例 5 求 y=lnsinx的导数解,y=lnu,u=sinx
dx
du
du
dy
dx
dy? x
u c o s
1?
x
x
s in
c o s? =cotx
求复合函数的导数的关键,
对复合函数进行正确的分解例 6 求 y=(x2+1)10的导数解,
dx
du
du
dy
dx
dy?
y?=10(x2+1)9(x2+1)?
=10(x2+1)9 2x
=20x(x2+1)9
例 7 求 (x>2)的导数解,
3
2
2
1ln
x
xy
)2l n (31)1l n (21 2 xxy
)2(2131)1(
1
1
2
1 2
2 xxxxy
2
1
3
12
1
1
2
1
2 xxx
)2(3
1
12?
x
x
x
三、用复合函数求导法则求隐函数的导数由方程 F(x,y)=0确定了 y是 x的函数,
这样的函数称为 隐函数隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导例 8 求 xy+lny=1所确定的隐函数的导数 y?
解,方程两边对 x求导得,
0?
yyyxy
1
2
xy
yy
例 9 设 x4?xy+y4=1,求 y在点 (0,1)处的值解,方程两边对 x求导得,
4x3?y?xy?+4y3y?=0 (1)
方程 (1)两边再对 x求导得,
12x2?2yxy+12y2(y?)2+4y3y=0 (2)
(1),(2)分别代入 x=0,y=1得
4
1
1
0
y
xy
16
1
1
0
y
xy
例 10 求曲线 3y2=x2(x+1)在点 (2,2)处的切线方程解,方程两边对 x求导得,6yy?=3x2+2x
)0( 6 23
2
yy xxy
3
4
)2,2( y
因而所求切线方程为,)2(
3
42 xy
即 4x?3y?2=0
四、反函数的求导法则设函数 x=?(y)在某区间 Iy内单调可导,
且(y)?0,则它的反函数 y=f(x)在对应区间 Ix也可导,且有
)(
1)(
yxf
或
dy
dxdx
dy 1
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数
∵ x=?(y)?1=(y)y?
)(
1
yy
例 11 求函数 y=arcsinx的导数解,其反函数 x=siny在 (/2,?/2)内单调可导且 (siny)?=cosy>0
在 (?1,1)内有,
)( s i n
1)( a r c s i n
yx yc o s
1?
y2s i n1
1
21 1 x
故
21
1)( a r c s i n
x
x
同理有,
21
1)( a r c c o s
x
x
21
1)( a r c t a n
x
x
21
1)c o t(
x
xa r c
确定 y与 x间的函数关系,称此为 由参数方程所确定的函数五、由参数方程所确定的函数的导数若参数方程
)(
)(
tfy
tx?
例如,
2
2
ty
tx 2xt 消去参数 t
4)2(
222 xx
ty 2xy
设函数 x=?(t)具有单调连续的反函数
t=1(x)
问题,消参困难或无法消参如何求导?
设函数 x=?(t),y=f(t)都可导,且?(t)?0,
由复合函数和反函数的求导法则,有,
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
tf
dt
dx
dt
dy
dx
dy
即
,则 y=f[1(x)]
例 12 求摆线 在 处的切线方程解,
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
2
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
taa
ta
c o s
s i n
t
t
c o s1
s in
2
c o s1
2
s i n
2
t
dx
dy =1
当
2
t 时,ayax ),1
2(
所求切线方程为,
)]12([1axay
即 )
22(
axy
—— 法则与公式
§ 2.1 求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则三、隐函数的求导法则四、反函数的求导法则五、由参数方程所确定的函数的求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则
)0)(( )( 2 xvv vuvuvu
如果函数 u(x)和 v(x)是 x的可导函数,
则它们的和、差、积、商 (分母不为零 )
也是 x的可导函数,并且
(1) [u?v]?=uv?
(2) (uv)?=u?v+uv?
(3)
2)
1(
v
v
v
特别,
n
i
i
n
i
i xfxf
11
)(])([
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
1 1
21
21
1
)()(
)()()(
)()()(])([
推论,
(2) [Cf(x)]?=Cf?(x)
(1)
(3)
例 1 求 y=x3?2x2+sinx的导数解,y?=(x3?2x2+sinx)?
=(x3)(2x2)?+(sinx)?
=3x2?4x+cosx
例 2 求 y=sin2x?lnx的导数解,y=2sinx?cosx?lnx
y?=2(sinx)cosx?lnx+2sinx?(cosx)lnx
+2sinx?cosx?(lnx)?
=2cosx?cosx?lnx+2sinx?(?sinx)?lnx
xxx
1c o ss i n2
xxxx 2s i n1ln2c o s2
例 3 求 y=tanx的导数解,)
c o s
s i n()( t a n
x
xxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s i n
x
xx
2
22
c o s
s i nc o s
x2c o s
1? =sec2x
即 (tanx)?=sec2x
同理可得,(cotx)?=?csc2x
例 4 求 y=secx的导数解,)
c o s
1()( s e c
xxy
x
x
2c os
)( c os
x
x
2c o s
s i n =secxtanx
同理可得,(cscx)?=?cscxcotx
即 (secx)?=secxtanx
二、复合函数的求导法则如果函数 u=?(x)在点 x处可导,y=f(u)
在对应点 u=?(x)处也可导,则有复合函数
y=f[?(x)]在点 x可导,其导数为,
dx
du
du
dy
dx
dy?
即复合函数的导数,等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数例 5 求 y=lnsinx的导数解,y=lnu,u=sinx
dx
du
du
dy
dx
dy? x
u c o s
1?
x
x
s in
c o s? =cotx
求复合函数的导数的关键,
对复合函数进行正确的分解例 6 求 y=(x2+1)10的导数解,
dx
du
du
dy
dx
dy?
y?=10(x2+1)9(x2+1)?
=10(x2+1)9 2x
=20x(x2+1)9
例 7 求 (x>2)的导数解,
3
2
2
1ln
x
xy
)2l n (31)1l n (21 2 xxy
)2(2131)1(
1
1
2
1 2
2 xxxxy
2
1
3
12
1
1
2
1
2 xxx
)2(3
1
12?
x
x
x
三、用复合函数求导法则求隐函数的导数由方程 F(x,y)=0确定了 y是 x的函数,
这样的函数称为 隐函数隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导例 8 求 xy+lny=1所确定的隐函数的导数 y?
解,方程两边对 x求导得,
0?
yyyxy
1
2
xy
yy
例 9 设 x4?xy+y4=1,求 y在点 (0,1)处的值解,方程两边对 x求导得,
4x3?y?xy?+4y3y?=0 (1)
方程 (1)两边再对 x求导得,
12x2?2yxy+12y2(y?)2+4y3y=0 (2)
(1),(2)分别代入 x=0,y=1得
4
1
1
0
y
xy
16
1
1
0
y
xy
例 10 求曲线 3y2=x2(x+1)在点 (2,2)处的切线方程解,方程两边对 x求导得,6yy?=3x2+2x
)0( 6 23
2
yy xxy
3
4
)2,2( y
因而所求切线方程为,)2(
3
42 xy
即 4x?3y?2=0
四、反函数的求导法则设函数 x=?(y)在某区间 Iy内单调可导,
且(y)?0,则它的反函数 y=f(x)在对应区间 Ix也可导,且有
)(
1)(
yxf
或
dy
dxdx
dy 1
即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数
∵ x=?(y)?1=(y)y?
)(
1
yy
例 11 求函数 y=arcsinx的导数解,其反函数 x=siny在 (/2,?/2)内单调可导且 (siny)?=cosy>0
在 (?1,1)内有,
)( s i n
1)( a r c s i n
yx yc o s
1?
y2s i n1
1
21 1 x
故
21
1)( a r c s i n
x
x
同理有,
21
1)( a r c c o s
x
x
21
1)( a r c t a n
x
x
21
1)c o t(
x
xa r c
确定 y与 x间的函数关系,称此为 由参数方程所确定的函数五、由参数方程所确定的函数的导数若参数方程
)(
)(
tfy
tx?
例如,
2
2
ty
tx 2xt 消去参数 t
4)2(
222 xx
ty 2xy
设函数 x=?(t)具有单调连续的反函数
t=1(x)
问题,消参困难或无法消参如何求导?
设函数 x=?(t),y=f(t)都可导,且?(t)?0,
由复合函数和反函数的求导法则,有,
dx
dt
dt
dy
dx
dy
dt
dxdt
dy 1
)(
)(
t
tf
dt
dx
dt
dy
dx
dy
即
,则 y=f[1(x)]
例 12 求摆线 在 处的切线方程解,
)c o s1(
)s i n(
tay
ttax
2
t
dt
dx
dt
dy
dx
dy
taa
ta
c o s
s i n
t
t
c o s1
s in
2
c o s1
2
s i n
2
t
dx
dy =1
当
2
t 时,ayax ),1
2(
所求切线方程为,
)]12([1axay
即 )
22(
axy
