§ 3.4 极限的四则运算
1,极限运算法则
2,求极限方法一、极限运算法则
(1)与 (2)可推广到有限个极限存在的函数定理,设 limf(x)=A,limg(x)=B,则
(1) lim[f(x)?g(x)]=A?B
(2) lim[f(x)?g(x)]=A?B
(3)
B
A
xg
xf?
)(
)(lim (其中 B?0)
即常数因子可以提到极限记号外面推论 1 如果 limf(x)存在,而 c为常数,则
lim[cf(x)]=climf(x)
推论 2 如果 limf(x)存在,而 n是正整数,则
lim[f(x)]n=[limf(x)]n
二、求极限方法举例
53
1lim
2
3
2
xx
x
x
例 1 求解,)53(l i m 2
2 xxx 5lim3limlim 22
2
2 xxx xx
5limlim3)lim( 2222 xxx xx
5232 2 =3?0
)53(l i m
1l i ml i m
2
2
2
3
2


xx
x
x
xx
3
12 3
3
7?∴ 原式 =
小结,1,设 f(x)=a0xn+a1xn?1+...+an,则有
n
n
xx
n
xxxx axaxaxf

1
10 )lim()lim()(lim
000
=a0x0n+a1x0n?1+...+an =f(x0)
2.设
)(
)()(
xQ
xPxf?,且 Q(x0)?0,则有
)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
)(
)(
0
0
xQ
xP? =f(x0)
若 Q(x0)=0,则商的法则不能应用
32
14l i m
21
xx
x
x
例 2 求解,)32(lim 2
1 xxx?
=0 商的法则不能用
)14(l i m 1 xx?又 =3?0
14
32l i m 2
1?

x
xx
x 3
0? =0
由无穷小与无穷大的关系,得

32
14lim
21 xx
x
x
32
1l i m
2
2
1
xx
x
x
例 3 求解,x?1时,分子,分母的极限都是零
”,00
32
1l i m
2
2
1
xx
x
x )1)(3(
)1)(1(lim
1

xx
xx
x
3
1li m
1?

x
x
x 2
1?
(先约去不为零的无穷小因子 x?1后再求极限 )
消去零因子法
147
532l i m
23
23


xx
xx
x
例 4 求解,x时,分子,分母的极限都是无穷大
”,
先用 x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限
147
532l i m
23
23


xx
xx
x
3
3
147
532
lim
xx
xx
x


72?
无穷小因子分出法以分母中自变量的最高次幂处分子,
分母,以分出无穷小,然后再求极限
)21(lim 222 nnnn
n


例 5 求解,n时,是无穷小之和先变形再求极限
)21(lim 222 nnnn
n


221l i m n n
n


2
)1(
2
1
lim
n
nn
n
)
11(
2
1l i m
nn 2
1?
xxy sin?x x
x
s inlim

例 6 求解,当 x时,
x
1 为无穷小而 sinx是有界函数
0s i nl i m
x
x
x
例 7 求
)2(l i m xxx
解：原式
xx
xxxx
x

2
)2)(2(
lim
xx
xx
x

2
2lim
xxx
2
2lim
=0
(有理化法 )
两个重要极限：
1s i nl i m
0
x
x
x
ex x
x


)11(l i m
例 8 求
x
x
x 3
2s i nlim
0?
解：原式 =
1s i nlim
0
x
x
x
x
x
x 2
2
3
2s i nlim
0
x
x
x 2
2s i nlim
3
2
0?
3
2?
(令 u=2x)
u
u
u
s i nl i m
3
2
0?
例 9 求
x
x x
)31(lim?

解,作变量代换,令
xu
31?,有 x=3u
显然,当 x时 u,则有：
x
x x
)31(lim?

u
u u
3)11(lim

3
)11(lim

u
u u
=e3
y
o x
1
xy 1
12 xy
例 9 设,求


0,1
0,1
)(
2 xx
xx
xf
解,
)(l i m0 xfx?
x=0是函数的分段点
)(lim
0
xf
x )1(l i m0 xx
=1
)(lim
0
xf
x
)1(lim 2
0

x
x
=1
左右极限存在且相等
1)(l i m0 xfx
三,等价无穷小替换定理设?1~?2,?1~?2,且
2
2l i m
存在,则
2
2
1
1 l i ml i m
[证 ]
)l i m (l i m
1
2
2
2
2
1
1
1

1
2
2
2
2
1 l i ml i ml i m

2
2l i m
例 11 求
x
x
x 5s i n
2t a nl i m
0?
解,当 x?0时,tan2x~2x,sin5x~ 5x
故原式 =
x
x
x 5
2l i m
0?
5
2?
例 12 求
xx
x
x 3
s i nl i m
30
解,当 x?0时,sinx~x
故原式 =
xx
x
x 3
l i m 3
0
3
1?
无穷小 x3+3x等价于它本身
3
1l i m
20 xx
常用等价无穷小,(x?0时 )
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
ln(1+x)~x
ex?1~x
2
2
1~c o s1 xx?
注：等价无穷小替换不能在加减法中适用例 13 求
30 )2(
s i nt a nlim
x
xx
x
错解,原式 =
0
)2(
l i m 3
0

x
xx
x
解,当 x?0时,
故原式 =
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x? 16
1?
tanx?sinx=tanx(1?cosx)
3
2
1~ x
另解：
xx
xx
x c o s)2(
)c o s1(s i nlim
30

16
1?
30 )2(
s i nt a nlim
x
xx
x
2000 )2(
c o s1lim
c o s
1lim
2
s i nlim
x
x
xx
x
xxx


2
2
0 )2(
2
s i n2
lim1
2
1
x
x
x?

2
2
0
)
2
(44
2
s i n2
l i m
2
1
x
x
x
四、极限存在准则
1,夹逼准则准则 1 如果数列 {xn},{yn}及 {zn}满足下列条件,
(1) yn≤ xn≤ zn (n=1,2,3,...)
(2)
azay nnnn l i m,l i m
那么数列 {xn}的极限存在,且
ax nnlim
准则 2 如果当 x?x0 (或 x)时,有
(1) g(x)≤ f(x)≤ h(x)
(2)
AxhAxg
x
xx
x
xx



)(l i m,)(l i m
)()(
00
那么
)(l i m
)(
0
xf
x
xx

存在,且等于 A
准则 1及准则 2称为夹逼准则
2.单调有界准则 单调有界数列必有极限五、小结
1.极限的四则运算法则及其推论
2.极限求法
a.多项式与分式函数代入法求极限
b.消去零因子法求极限
c.无穷小因子分出法求极限
d.利用无穷小运算性质求极限
e.利用两个重要极限公式求极限
f.利用左右极限求分段函数极限思考题,
在某个过程中,若 f(x)有极限,g(x)无极限,那么 f(x)+g(x)是否有极限?为什么?
解答,没有极限假设 f(x)+g(x)有极限 ∵ f(x)有极限由极限运算法则可知,
g(x)=[f(x)+g(x)]?f(x) 必有极限与已知矛盾,故假设错误练习题
3
3l i m,1 3
2?
x
x
x
1
1lim,2
31?
x
x
x
)112)(11(l i m,3 2 x
xxx


35
)3)(2)(1(lim,4
n
nnn
n


5
3
2
5
1
xx
xxx
x 23
24l i m,6
2
24
0?

50
3020
)12(
)23()32(
l i m,7

x
xx
x
2
1
30)
2
3(
)
2
1
4
1
2
11(l i m,8
nn
2
xxx
1s i nlim,5 2
0?
0
38 2
31l i m,10
x
x
x?


1
14
12lim,11
x
x
x
2
)
1
3
1
1(l i m,12
31 xxx
0
h
xhx
h
22
0
)(lim,9
2x