§ 1.2 导数概念一、导数的定义二、导数的物理意义和几何意义三、由定义求导数存在,则称该极限值为 f(x)在点 x0处的导数,
记作 f?(x0),或设函数 y=f(x)在点 x0的某一邻域内有定义,当自变量 x在点 x0处有增量?x
(点 x0+?x仍在该邻域内 )时,相应地函数有增量?y=f(x0+?x)?f(x0),如果
0xx
y
x
xfxxf
x
y
xx?
)()(limlim 00
00
或
0xx
dx
dy
导数的定义或
0
)(
xx
dx
xdf
如果 f(x)在点 x0处有导数,则称 f(x)在点 x0处可导,否则称 f(x)在点 x0不可导
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
0
0
)()(lim)(
0 xx
xfxfxf
xx?
其他形式,
是自变量从 x0到 x0+?x时函数 f(x)的平均变化速度,称为函数的平均变化率,而导数 f?(x0)是函数在点 x0处的变化速度,称为函数 f(x)在点 x0处的瞬时变化率关于导数的说明：
(1)
x
y
可见,导数是平均变化率的极限
(2)如果函数 y=f(x)在开区间 (a,b)内的每一点处都可导,则称函数 f(x)在区间 (a,b)内可导此时,?x?(a,b),都对应着 f(x)的一个确定的导数,则 f?(x)是 x的函数,称为函数 f(x)
的 导函数,记作 y?,f?(x),
dx
dy
或
dx
xdf )(
x
xfxxfy
x?
)()(lim
0
即
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
或
0
)()( 0 xxxfxf显然,
导数的物理意义和几何意义物理意义,变速直线运动物体的瞬时速度瞬时速度是路程对时间的导数,即
dt
dss
t
stv
t
0
lim)(
几何意义,曲线 y=f(x)在点 x0处的切线斜率
dx
dyxf )(t a n?
o x
y )(xfy?
T
0x
M
由定义求导数,
步骤,
(1)求增量?y=f(x+?x)?f(x)
(2)求比值
x
xfxxf
x
y
)()(
(3)求极限
x
yy
x?
0
l i m
例 1 求函数 f(x)=C (C为常数 )的导数解,
x
xfxxfxf
x?
)()(lim)(
0
x
CC
x?
0
l i m
=0
即 (C)?=0
例 2 设函数 f(x)=sinx,求 (sinx)?及
4
)( s i n xx
解,
x
xxxx
x?
s i n)s i n (lim)( s i n
0
x
x
xx
x?
2
s i n
)
2
c o s (2l i m
0
=cosx
即 (sinx)?=cosx
44
c o s)( s i n xx xx 2
2?
同理可求 (cosx)?=?sinx
例 3 求函数 y=xn (n为正整数 )的导数解,
x
xxxx nn
x
n
)(lim)(
0
])(
)()[(lim
12
21
0
nn
nn
x
xxxx
xxxxx
=nxn?1
即 (xn)?=nxn?1
更一般地 (x?)?=?x1 (R)
例如,
)(?x 121
2
1 x
x2
1?
(x?1)?=(?1)x?1?1
2
1
x
例 4 求函数 y=logax (a>0,且 a?1)的导数解,
x
xxxy aa
x?
l o g)(l o glim
0
x
x
xx
a
x?
l o g
l i m
0 )1(l o g
1lim
0 x
x
x ax
x
ax x
x?
1
0
)1(l o glim xx
x
ax x
x 1
0
)1(l o gl i m
])1(l i m[l o g1
0
x
x
xa x
x
x
e
x al o g
1? ax ln1?
ex
1)( ln
思考题,函数 f(x)在某点 x0处的导数 f?(x0)
与导函数 f?(x)有什么区别和联系?
解答,
由导数的定义知,f?(x0)是一个具体的数值,f?(x)是由于 f(x)在某区间 I上每一点都可导而定义在 I上的一个新函数,
即?x?I,有唯一值 f?(x)与之对应,所以两者的区别是,一个是数值,另一个是函数,
两者的联系是,在某点 x0处的导数 f?(x0)
即是导函数 f?(x)在 x0处的函数值
记作 f?(x0),或设函数 y=f(x)在点 x0的某一邻域内有定义,当自变量 x在点 x0处有增量?x
(点 x0+?x仍在该邻域内 )时,相应地函数有增量?y=f(x0+?x)?f(x0),如果
0xx
y
x
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x
y
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00
或
0xx
dx
dy
导数的定义或
0
)(
xx
dx
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如果 f(x)在点 x0处有导数,则称 f(x)在点 x0处可导,否则称 f(x)在点 x0不可导
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
0
0
0
)()(lim)(
0 xx
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其他形式,
是自变量从 x0到 x0+?x时函数 f(x)的平均变化速度,称为函数的平均变化率,而导数 f?(x0)是函数在点 x0处的变化速度,称为函数 f(x)在点 x0处的瞬时变化率关于导数的说明：
(1)
x
y
可见,导数是平均变化率的极限
(2)如果函数 y=f(x)在开区间 (a,b)内的每一点处都可导,则称函数 f(x)在区间 (a,b)内可导此时,?x?(a,b),都对应着 f(x)的一个确定的导数,则 f?(x)是 x的函数,称为函数 f(x)
的 导函数,记作 y?,f?(x),
dx
dy
或
dx
xdf )(
x
xfxxfy
x?
)()(lim
0
即
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
或
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)()( 0 xxxfxf显然,
导数的物理意义和几何意义物理意义,变速直线运动物体的瞬时速度瞬时速度是路程对时间的导数,即
dt
dss
t
stv
t
0
lim)(
几何意义,曲线 y=f(x)在点 x0处的切线斜率
dx
dyxf )(t a n?
o x
y )(xfy?
T
0x
M
由定义求导数,
步骤,
(1)求增量?y=f(x+?x)?f(x)
(2)求比值
x
xfxxf
x
y
)()(
(3)求极限
x
yy
x?
0
l i m
例 1 求函数 f(x)=C (C为常数 )的导数解,
x
xfxxfxf
x?
)()(lim)(
0
x
CC
x?
0
l i m
=0
即 (C)?=0
例 2 设函数 f(x)=sinx,求 (sinx)?及
4
)( s i n xx
解,
x
xxxx
x?
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0
x
x
xx
x?
2
s i n
)
2
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0
=cosx
即 (sinx)?=cosx
44
c o s)( s i n xx xx 2
2?
同理可求 (cosx)?=?sinx
例 3 求函数 y=xn (n为正整数 )的导数解,
x
xxxx nn
x
n
)(lim)(
0
])(
)()[(lim
12
21
0
nn
nn
x
xxxx
xxxxx
=nxn?1
即 (xn)?=nxn?1
更一般地 (x?)?=?x1 (R)
例如,
)(?x 121
2
1 x
x2
1?
(x?1)?=(?1)x?1?1
2
1
x
例 4 求函数 y=logax (a>0,且 a?1)的导数解,
x
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0
x
x
xx
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x
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x
x
xa x
x
x
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1)( ln
思考题,函数 f(x)在某点 x0处的导数 f?(x0)
与导函数 f?(x)有什么区别和联系?
解答,
由导数的定义知,f?(x0)是一个具体的数值,f?(x)是由于 f(x)在某区间 I上每一点都可导而定义在 I上的一个新函数,
即?x?I,有唯一值 f?(x)与之对应,所以两者的区别是,一个是数值,另一个是函数,
两者的联系是,在某点 x0处的导数 f?(x0)
即是导函数 f?(x)在 x0处的函数值
