§ 3 局部改变量的估值问题
—— 微分及其运算
§ 3.1 微分一、微分的概念二、微分的几何意义一、微分概念实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量设边长由 x变到 x+?x
正方形面积 S=x2
S=(x+?x)2?x2
=2x?x+(?x)2
(1) (2)
x
x
(?x)2
x?x
x?xS=x2 x
x
(1):?x的线性函数
(2):?x的高阶无穷小,当 |?x|很小时可忽略
为?S的主要部分
2x?x?S=x2的微分设函数 y=f(x)在点 x处有增量?x,若相应的函数增量?y可表示成
y=A?x+o(?x),
其中 A与?x无关,A?x称为?y的 线性主部,
o(?x)是关于?x的 高阶无穷小,则称函数
y=f(x)在点 x可微,并称 A?x为函数 y=f(x)
在点 x处的 微分,记作 dy或 df(x),即
dy=df(x)=A?x
定义有?y=dy+o(?x)
由定义知,
(1) dy是自变量的改变量?x的线性函数
(2)?y?dy=o(?x)是比?x高阶无穷小
xA
xo
)(1
(3) 当 A?0时,dy与?y是等价无穷小
dy
y
1 (?x?0)
(4) A与?x无关,但与 f(x)和 x有关
(5) 当 |?x|很小时,?y?dy (线性主部 )
函数 f(x)在点 x可微?函数 f(x)在点
x可导,且 A=f?(x)
定理
[证 ] 必要性,∵ f(x)在点 x可微
∴?y=A?x+o(?x)
x
xoA
x
y

)(
x
xoA
x
y
xx?



)(limlim
00
=A
即函数 f(x)在点 x可导,且 A=f?(x)
充分性,∵ f(x)在点 x可导
)(l i m
0
xfxy
x



)( xfxy
从而?y=f?(x)?x+x
=f?(x)?x+o(?x)
∵0 (?x?0)
即函数 f(x)在点 x可微
∴ 可导?可微 A=f?(x)
于是,微分 dy=A?x可写成 dy=f?(x)?x
通常把自变量 x的增量?x称为自变量的微分,记作 dx,即 dx=?x
∵ 令 y=x?dy=dx =yx=xx=?x
于是,微分进一步可写成,dy=f?(x)dx
二、微分的几何意义如图,
即?y是曲线的纵坐标增量时,dy就是切线纵坐标对应的增量
dy?y
T
）
M0
x0
y
o x
y=f(x) N
M
x0+?x
NM
NT
0
f?(x0)=tan?
xxfNT )( 0
dyNT
o(?x)
思考题由于函数 y=f(x)在 x的可微性与可导性是等价的,所以有人说“微分就是导数,导数就是微分”,这说法对吗？解答,说法不对从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量之比的极限,它们是完全不同的概念