§ 1.2 逆向思维一例 —— 反函数函数 y=f(x)确定了定义域 X到值域 Y
的一种单值对应关系,反过来,上述函数是否确定了集合 Y到集合 X的单值对应关系?
设函数 y=f(x),x?X,y?Y.如果对于
Y内的任一 y,X内都有唯一确定的 x与之对应,使 f(x)=y,则在 Y上确定了一个函数,
这个函数称为函数 y=f(x)的 反函数,记作
x=f?1(y),y?Y.而原来的函数 y=f(x)称为直接函数定义按照习惯,用 x表示自变量,y表示因变量,故函数 x=f?1(y)写成 y=f?1(x),
可见,函数 y=f(x)的定义域 X和值域 Y
分别是反函数 y=f?1(x)的值域和定义域例如,y=2x的反函数 x=log2y
习惯上写成 y=log2x
函数 y=f(x)和它的 反函数 y=f?1(x)的图像关于直线 y=x对称直接函数 y=f(x)
反函数 y=f?1(x)
y=x
x
y
o
P(a,b)
Q(b,a)
一个函数的反函数可能是单值的,也可能是多值的例如,y=x+1的反函数 y=x?1是单值的
y=x2的反函数 是多值的,
xy? 与 xy
我们有,单调函数存在反函数,且函数与其反函数的单调性相同