微分方程的初等解法,初等积分法求解微分方程 求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
§ 2 特殊类型微分方程的解法
—— 初等积分法
)()( ygxhdxdy?
定义,形如的方程称为 变量分离方程其特点,
方程右端是只含 x的函数与只含 y的函数的乘积
§ 2.1 分离变量法将该方程化为等式一边只含变量 y,而另一边只含变量 x的形式,即变量分离方程的解法,
(1)分离变量,
dxxhyg dy )()(?
(其中 g(y)?0)
例如,
5
4
22 yx
dx
dy?
dxx
y
dy 2
5
4 2
(2)两边积分,
dxxhyg dy )()(
(3)计算上述不定积分,求通解例 1 求解微分方程 的通解
xydxdy 2?
解,分离变量,得
xdxydy 2?
两端积分,得
x d xydy 2
ln|y|=x2+C1
12|| Cxey
21 xC ee?
21 xC eey 2xCe? )( 1CeC
求通解,得
∴ 方程通解为,2xCey? (C为任意常数 )
( y?0)
显然,y=0也是方程的解,只须允许 C=0即可显式解例 2 求方程 的通解 yyxy 22 31
解,分离变量,得
22 31 x
dx
y
y d y?
( y1)
两端积分,得
22 31 xdxy
y d y
Cxy 3 11 2
03 11 2 Cxy
显然,y=?1也是方程的解,但不能并入通解中得通解,隐式解
22 11 x
x d x
y
y d y
例 3 求解初值问题,,y|x=0=1
yxy
xyxy
2
2
解,分离变量,得两端积分,得
22 11 xxdxyy d y
ln(1+y2)=ln(1+x2)+C1
)1(1 22 1 xey C =C(1+x
2)
)( 1CeC?
代入初始条件,得,C=2
所求特解为,1+y2=2(1+x2)
例 3 衰变问题,衰变速度与未衰变原子含量 M成比例,已知 M|t=0=M0,求衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t变化的规律解,由题意有,
MdtdM衰变速度
(?>0,衰变系数 )
dtMdM dtMdM?
lnM=t+C1 1CteM =Cet
)( 1CeC?M0=Ce0代入初始条件,得,=C
∴ M=M0et 衰变规律由于当 t?时,M?,
故衰变速度为负的方程,其中
a,b是常数
§ 2.2 可化为变量分离方程的方程类型 1 形如
)( byaxfdxdy
令 u=ax+by
dx
dyba
dx
du
)( ubfadxdu
变量分离方程将原式代入例 4 求方程 的通解
yxdxdy 2
解,令 u=2x+y
dx
dy
dx
du 2
分离变量,得两端积分,得
dxudu2
dxudu2
ln|2+u|=x+C1 1|2| Cxeu
21 Cxeu =Ce
x?2
)( 1CeC
=2+u
得通解,y=Cex?2x?2
的方程称为 齐次微分方程类型 2 形如
)( xyfdxdy?
例如方程
22 yx
xy
dx
dy
是齐次方程
2
)(1
x
y
x
y
dx
dy
齐次方程中一些特殊情形 (例如
)2 xyy
可直接分离变量如果变量不能直接分离,有如下解法,
x
yu?令?y=xu
dx
duxu
dx
dy
代入原式
)( ufdxduxu
x
dx
uuf
du?
)(
变量分离 ( f(u)?u?0)
两端积分
xdxuuf du )(
=ln|x|+C
进一步解出 u后将
x
y 代替 u即可
)( xyfdxdy?
例 5 求解方程
0co s)co s( dyxyxdxxyyx
解,
x
yuy=xu令?dy=xdu+udx
(x?xucosu)dx+xcosu(xdu+udx)=0
x
dxu d u c o s
sinu=?ln|x|+C
xdxu d uc o s
所求解为,
Cxxy ||lns i n
例 6 求方程 满足 y|x=0=1的特解
22 yx
xy
dx
dy
解,
x
yu?令?y=xu
dx
duxu
dx
dy
21 u
u
dx
duxu
变量分离两端积分
x
dx
u
duu
3
2 )1(
xdxu duu 3
2 )1(
(u?0)
122 1 Cuexu 22 1uCe )(
1CeC
2
2
2 y
x
Cey
代入初始条件?C=1
所求特解为,222 yxey
12 ||ln||ln2
1 Cxu
u
§ 2.3 一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程称为 一阶线性方程一般形式,
)()( xqyxpdxdy
若 q(x)?0,上方程称为 齐次线性方程若 q(x) 0,上方程称为 非齐次线性方程例如,
2xy
dx
dy
2s i n ttx
dt
dx
线性的线性的
yy2xy=3
ycosy=1
非线性的非线性的一阶线性微分方程的解法
1.先求解线性齐次方程
0)( yxpdxdy
变量分离
dxxpydy )(
两端积分
dxxpydy )(
1)(||ln Cdxxpy
得齐次方程的通解, dxxpCey )(
( y?0)
(C为任意常数,C=0时,就包含了 y=0这个解 )
2.求解非线性齐次方程
)()( xqyxpdxdy
讨论,
dxxpyxqydy )]()([
dxxpdxy xqy )()(||ln
两端积分
u(x)
dxxpxuy )()(||ln
dxxpxu eey )()( dxxpexv )()(
非齐次方程通解形式与齐次方程通解形式相比,C?v(x)
常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法
dxxpexvy )()(作变换
dxxpdxxp expxvexvy )()( )()()(
将 y和 y?代入原方程
)()( )( xqexv dxxp
积分得,
Cdxexqxv dxxp )()()(
)()( xqyxpdxdy
dxxpexqxv )()()(
])([ )()( Cdxexqey dxxpdxxp
dxexqeCe dxxpdxxpdxxp )()()( )(
对应齐次方程通解非齐次方程特解得线性非齐次方程的通解,
用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤,
(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解
(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解 (将所求出的齐次方程的通解中的任意常数 C改为待定函数 C(x)
即可 )
(3)将所设解代入非齐次线性方程,解出
C(x),并写出非齐次线性方程的通解例 7 求方程 的通解
xydxdy
解,先求对应的齐次方程
0 ydxdy
的通解分离变量?
dxydy
两端积分?ln|y|=?x+C1
y=Ce?x
再用常数变易法求原非齐次方程的通解则有,y?=?C(x)e?x+C?(x)e?x
代入原方程?C?(x)=xex
dxxexC x )(
=xex?ex+C
代回,得原方程的通解为,
y=e?x(xex?ex+C)
即 y=Ce?x+x?1
设 y=C(x)e?x
xydxdy
例 8 求方程 的通解解,xexq x c o s)( 2?
])([ )()( Cdxexqey dxxpdxxp
xexydxdy x co s2 2
p(x)=?2x
]c o s[ 22 2 Cdxexee x d xxx d x
)c o s(2 Cdxxe x
)( s i n2 Cxe x
(通解可用初等函数或积分表示出来 )
§ 2 特殊类型微分方程的解法
—— 初等积分法
)()( ygxhdxdy?
定义,形如的方程称为 变量分离方程其特点,
方程右端是只含 x的函数与只含 y的函数的乘积
§ 2.1 分离变量法将该方程化为等式一边只含变量 y,而另一边只含变量 x的形式,即变量分离方程的解法,
(1)分离变量,
dxxhyg dy )()(?
(其中 g(y)?0)
例如,
5
4
22 yx
dx
dy?
dxx
y
dy 2
5
4 2
(2)两边积分,
dxxhyg dy )()(
(3)计算上述不定积分,求通解例 1 求解微分方程 的通解
xydxdy 2?
解,分离变量,得
xdxydy 2?
两端积分,得
x d xydy 2
ln|y|=x2+C1
12|| Cxey
21 xC ee?
21 xC eey 2xCe? )( 1CeC
求通解,得
∴ 方程通解为,2xCey? (C为任意常数 )
( y?0)
显然,y=0也是方程的解,只须允许 C=0即可显式解例 2 求方程 的通解 yyxy 22 31
解,分离变量,得
22 31 x
dx
y
y d y?
( y1)
两端积分,得
22 31 xdxy
y d y
Cxy 3 11 2
03 11 2 Cxy
显然,y=?1也是方程的解,但不能并入通解中得通解,隐式解
22 11 x
x d x
y
y d y
例 3 求解初值问题,,y|x=0=1
yxy
xyxy
2
2
解,分离变量,得两端积分,得
22 11 xxdxyy d y
ln(1+y2)=ln(1+x2)+C1
)1(1 22 1 xey C =C(1+x
2)
)( 1CeC?
代入初始条件,得,C=2
所求特解为,1+y2=2(1+x2)
例 3 衰变问题,衰变速度与未衰变原子含量 M成比例,已知 M|t=0=M0,求衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t变化的规律解,由题意有,
MdtdM衰变速度
(?>0,衰变系数 )
dtMdM dtMdM?
lnM=t+C1 1CteM =Cet
)( 1CeC?M0=Ce0代入初始条件,得,=C
∴ M=M0et 衰变规律由于当 t?时,M?,
故衰变速度为负的方程,其中
a,b是常数
§ 2.2 可化为变量分离方程的方程类型 1 形如
)( byaxfdxdy
令 u=ax+by
dx
dyba
dx
du
)( ubfadxdu
变量分离方程将原式代入例 4 求方程 的通解
yxdxdy 2
解,令 u=2x+y
dx
dy
dx
du 2
分离变量,得两端积分,得
dxudu2
dxudu2
ln|2+u|=x+C1 1|2| Cxeu
21 Cxeu =Ce
x?2
)( 1CeC
=2+u
得通解,y=Cex?2x?2
的方程称为 齐次微分方程类型 2 形如
)( xyfdxdy?
例如方程
22 yx
xy
dx
dy
是齐次方程
2
)(1
x
y
x
y
dx
dy
齐次方程中一些特殊情形 (例如
)2 xyy
可直接分离变量如果变量不能直接分离,有如下解法,
x
yu?令?y=xu
dx
duxu
dx
dy
代入原式
)( ufdxduxu
x
dx
uuf
du?
)(
变量分离 ( f(u)?u?0)
两端积分
xdxuuf du )(
=ln|x|+C
进一步解出 u后将
x
y 代替 u即可
)( xyfdxdy?
例 5 求解方程
0co s)co s( dyxyxdxxyyx
解,
x
yuy=xu令?dy=xdu+udx
(x?xucosu)dx+xcosu(xdu+udx)=0
x
dxu d u c o s
sinu=?ln|x|+C
xdxu d uc o s
所求解为,
Cxxy ||lns i n
例 6 求方程 满足 y|x=0=1的特解
22 yx
xy
dx
dy
解,
x
yu?令?y=xu
dx
duxu
dx
dy
21 u
u
dx
duxu
变量分离两端积分
x
dx
u
duu
3
2 )1(
xdxu duu 3
2 )1(
(u?0)
122 1 Cuexu 22 1uCe )(
1CeC
2
2
2 y
x
Cey
代入初始条件?C=1
所求特解为,222 yxey
12 ||ln||ln2
1 Cxu
u
§ 2.3 一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程称为 一阶线性方程一般形式,
)()( xqyxpdxdy
若 q(x)?0,上方程称为 齐次线性方程若 q(x) 0,上方程称为 非齐次线性方程例如,
2xy
dx
dy
2s i n ttx
dt
dx
线性的线性的
yy2xy=3
ycosy=1
非线性的非线性的一阶线性微分方程的解法
1.先求解线性齐次方程
0)( yxpdxdy
变量分离
dxxpydy )(
两端积分
dxxpydy )(
1)(||ln Cdxxpy
得齐次方程的通解, dxxpCey )(
( y?0)
(C为任意常数,C=0时,就包含了 y=0这个解 )
2.求解非线性齐次方程
)()( xqyxpdxdy
讨论,
dxxpyxqydy )]()([
dxxpdxy xqy )()(||ln
两端积分
u(x)
dxxpxuy )()(||ln
dxxpxu eey )()( dxxpexv )()(
非齐次方程通解形式与齐次方程通解形式相比,C?v(x)
常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法
dxxpexvy )()(作变换
dxxpdxxp expxvexvy )()( )()()(
将 y和 y?代入原方程
)()( )( xqexv dxxp
积分得,
Cdxexqxv dxxp )()()(
)()( xqyxpdxdy
dxxpexqxv )()()(
])([ )()( Cdxexqey dxxpdxxp
dxexqeCe dxxpdxxpdxxp )()()( )(
对应齐次方程通解非齐次方程特解得线性非齐次方程的通解,
用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤,
(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解
(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解 (将所求出的齐次方程的通解中的任意常数 C改为待定函数 C(x)
即可 )
(3)将所设解代入非齐次线性方程,解出
C(x),并写出非齐次线性方程的通解例 7 求方程 的通解
xydxdy
解,先求对应的齐次方程
0 ydxdy
的通解分离变量?
dxydy
两端积分?ln|y|=?x+C1
y=Ce?x
再用常数变易法求原非齐次方程的通解则有,y?=?C(x)e?x+C?(x)e?x
代入原方程?C?(x)=xex
dxxexC x )(
=xex?ex+C
代回,得原方程的通解为,
y=e?x(xex?ex+C)
即 y=Ce?x+x?1
设 y=C(x)e?x
xydxdy
例 8 求方程 的通解解,xexq x c o s)( 2?
])([ )()( Cdxexqey dxxpdxxp
xexydxdy x co s2 2
p(x)=?2x
]c o s[ 22 2 Cdxexee x d xxx d x
)c o s(2 Cdxxe x
)( s i n2 Cxe x
