§ 2.2 基本初等函数的求导公式
(C)?=0
(xn)?=nxn?1
axxa ln
1)( l o g
(sinx)?=cosx
(cosx)?=?sinx
(tanx)?=sec2x
(cotx)?=?csc2x
(secx)?=secxtanx
(cscx)?=?cscxcotx
21
1)( a r c s i n
x
x

21
1)( a r c c o s
x
x

21
1)( a r c t a n
x
x

21
1)c o t( a r c
x
x

1.任意指数的幂函数 y=x? (R)的导数对数求导法,
先对等式两边取对数,然后根据隐函数的求导法求出导数对 y=x? 两边取对数,得,lny=?lnx
两端对 x求导,得,
xy
y
x
yy
x
x 即得 (x
)?=?x1
2.指数函数 y=ax (a>0,且 a?1)的导数两边取对数,得,lny=xlna
两端对 x求导,得,
ayy ln?
即得 (ax)?=axlna
y?=ylna
特别,(ex)?=ex
例 1 求函数 的导数xey 1si n?
解,
)1( s i n
1s i n

xey
x
)1(1co s
1s i n

xxe
x
xex
x 1c o s1
1s i n
2
例 2 求函数的导数解,
a
xaxaxy a r c s i n
22
222

)a r c s i n2()2(
222
axaxaxy
2
2
22
22
22
)(1
)(
22
)(
22
1
a
x
a
x
a
xa
xax
xa


22
2
22
222
222 xa
a
xa
xxa

22 xa
例 3 求下列函数的 n阶导数,
(1)y=xn (2)y=ex (3)y=sinx
解,(1) y?=nxn?1
y=n(n?1)xn?2...
(xn)(n)=n!
(2) y?=ex
y=ex...
(ex)(n)=ex
(3) y?=cosx
y=?sinx
y=?cosx
y(4)=sinx
...
)2s i n ( x
)22s i n ( x )22s i n ( x
)23s i n ( x
)24s i n ( x
)2s i n ()( s i n )( nxx n
)2c o s ()( c o s )( nxx n
同理